Fórum de Matemática
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(FGV-SP, adaptada) Imagine dois números naturais não nulos. Seja D a diferença entre o cubo de sua soma e a soma de seus cubos. Mostre que D é múltiplo de 6.

\((x+y)^3-(x^3+y^3)=\)
\(x^3 +3x^2y+3xy^2+y^3-x^3-y^3=\)
\(3x^2y+3xy^2=3(x^2y+xy^2)\)

Que é múltiplo de 3 é fácil de ver. Para ser múltiplo de 6 tem de ser também múltiplo de 2.
Mas isso também é fácil de concluir. Se um dos números x ou y for par, a expressão entre parêntesis é par.
Se forem os dois ímpares, a expressão entre parêntesis é a soma de dois números ímpares, logo par.

Logo, é múltiplo de 3 e 2, e, portanto, múltiplo de 6

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928