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| Imagine dois números naturais não nulos... https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=2868 |
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| Autor: | -Sarah- [ 18 jun 2013, 21:44 ] |
| Título da Pergunta: | Imagine dois números naturais não nulos... |
(FGV-SP, adaptada) Imagine dois números naturais não nulos. Seja D a diferença entre o cubo de sua soma e a soma de seus cubos. Mostre que D é múltiplo de 6. |
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| Autor: | josesousa [ 18 jun 2013, 23:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Imagine dois números naturais não nulos... |
\((x+y)^3-(x^3+y^3)=\) \(x^3 +3x^2y+3xy^2+y^3-x^3-y^3=\) \(3x^2y+3xy^2=3(x^2y+xy^2)\) Que é múltiplo de 3 é fácil de ver. Para ser múltiplo de 6 tem de ser também múltiplo de 2. Mas isso também é fácil de concluir. Se um dos números x ou y for par, a expressão entre parêntesis é par. Se forem os dois ímpares, a expressão entre parêntesis é a soma de dois números ímpares, logo par. Logo, é múltiplo de 3 e 2, e, portanto, múltiplo de 6 |
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