Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Segue logo abaixo:

Se A é um anel com unidade então \(x=x\cdot 1\) e como tal:

\(x^2=x \Leftrightarrow x\cdot x - x\cdot 1=0 \Leftrightarrow x\cdot (x-1)=0 , \forall x\in A\)

Se A for um domínio integral (ou anel de integridade) então \(x\cdot (x-1)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x-1=0 , \forall x\in A\)

Logo A={0,1}.

A implicação no sentido inverso é fácil de ver: \(A=\{0,1\} \Rightarrow x^2=x, \forall x\in A\) pois \(0^2=0\) e \(1^2=1\).