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(UFF) Potência/Complexos: S = 1 + i + i² + ...
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Autor:  pedrohmc [ 28 jun 2013, 02:07 ]
Título da Pergunta:  (UFF) Potência/Complexos: S = 1 + i + i² + ...
Questão que caiu no Vestibular do UFF

QUESTÃO 16
O valor de \(S = 1 + i + i^2 + i^3 + i^4 + ...\) , sendo i a unidade imaginária dos números complexos,
é igual a:
a) \(i\)
b) \(i/2\)
c) \(1/i\)
d) \(1 + i\)
e) \(1/2 + (1/2)i\)

A alternativa certa é a e, como eu chego na resposta?
Autor:  João P. Ferreira [ 28 jun 2013, 03:10 ]
Título da Pergunta:  Re: (UFF) Potência/Complexos: S = 1 + i + i² + ...
Será isto????

\(S = 1 + i + i^2 + i^3 + i^4+....\)
Autor:  pedrohmc [ 02 jul 2013, 01:48 ]
Título da Pergunta:  Re: (UFF) Potência/Complexos: S = 1 + i + i² + ...
João P. Ferreira Escreveu:
Será isto????

\(S = 1 + i + i^2 + i^3 + i^4+....\)


Isso mesmo, não vi as propriedades do editor de equações
Autor:  npl [ 02 jul 2013, 12:55 ]
Título da Pergunta:  Resposta (a) !??
A mim parece-me que a resposta depende do número de termos da sequência considerado, pois os termos alternados da sequência anulam-se(cancelam-se).
Autor:  danjr5 [ 06 jul 2013, 01:38 ]
Título da Pergunta:  Re: (UFF) Potência/Complexos: S = 1 + i + i² + ...  [resolvida]
Consideremos a P.G \(\begin{cases} a_1 = i \\ a_2 = i^2 \\ q = i \end{cases}\)

Sabemos que a soma dos termos de uma PG infinita é dada por \(S_n = \frac{a_1}{1 - q}\)

Portanto,

\(S_n = \frac{a_1}{1 - q}\)

\(S_n = \frac{i}{1 - i}\)

\(S_n = \frac{i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}\)

\(S_n = \frac{i(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}\)

\(S_n = \frac{i + i^2}{1 - i^2}\)

\(S_n = \frac{i + (- 1)}{1 - (- 1)}\)

\(S_n = \frac{i - 1}{2}\)

\(\fbox{S_n = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}}\)


Por fim,

\(S = 1 + \underbrace{i + i^2 + i^3 + ....}_{- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}}\)

\(S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\)

\(S = \fbox{\fbox{\frac{1}{2} + \frac{i}{2}}}\)

Alternativa e.
Autor:  npl [ 11 jul 2013, 10:21 ]
Título da Pergunta:  Re: (UFF) Potência/Complexos: S = 1 + i + i² + ...
danjr5 Escreveu:
Sabemos que a soma dos termos de uma PG infinita é dada por \(S_n = \frac{a_1}{1 - q}\)


danjr5 essa afirmação é verdadeira quando a razão da progressão geométrica exponeciada um número infinto de vezes tende para zero.
Mas tal não me parece ser o caso de \(i^\propto\).
Por isso não compreendo as alternativas oferecidas para a solução do problema...
Autor:  João P. Ferreira [ 11 jul 2013, 18:26 ]
Título da Pergunta:  Re: (UFF) Potência/Complexos: S = 1 + i + i² + ...
Boas caro Nuno

Se me permite caro Daniel

Aqui não se trata de apenas \(i^{\infty}\) mas sim de \(\sum_{n=0}^\infty i^n=1+i+i^2+i^3+...\)

\(\sum_{n=0}^\infty i^n=(1+i+i^2+i^3)+(i^4+i^5+i^6+i^7)+...=(1+i-1-i)+(1+i-1-i)+(1+i-1-i)+(1+i-1-i)+...\)

Daniel, o que vc mostrou é válido no caso do módulo da razão ser menor que 1, ou seja \(\sum r^n\) é convergente se \(|r|<1\) mas neste caso \(|i|=1\)

é como a série \(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n=1-1+1-1+1-1+...\)

acho eu (a necessitar de confirmação) que nenhuma das alíneas se aplica pois a série divergente

Abraços aos dois :)
Autor:  danjr5 [ 11 jul 2013, 23:42 ]
Título da Pergunta:  Re: (UFF) Potência/Complexos: S = 1 + i + i² + ...
De acordo!! E, obrigado pelo esclarecimento.
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