Problema: feira municipal

[danjr5]

Pensando no desenvolvimento do município, a prefeitura une-se com instituições da cidade para realizar uma feira municipal. Sabendo que terão um custo total de 342 mil reais para a realização do evento e que este custo será dividido igualmente entre as instituições, três destas desistem de participar. Assim, cada instituição restante terá um acréscimo de 19 mil reais ao seu custo. O número original de instituições era de:

a) 8
b) 9
c) 10
d) 12

Editado pela última vez por danjr5 em 29 jun 2013, 10:16, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título

[Mauro]

Pensando no desenvolvimento do município, a prefeitura une-se com instituições da cidade para realizar uma feira municipal. Sabendo que terão um custo total de 342 mil reais para a realização do evento e que este custo será dividido igualmente entre as instituições, três destas desistem de participar. Assim, cada instituição restante terá um acréscimo de 19 mil reais ao seu custo. O número original de instituições era de:

a) 8
b) 9
c) 10
d) 12

Prezada, tenho certeza de que este não é o melhor caminho. Mas tentei resolver assim:

Imaginemos valores conhecidos para descobrirmos qual o caminho a seguir.

Vamos supor que tenhamos 4.200,00 para serem compostos com 4 instituições.

Então, a quota (q1) de cada uma delas seria

\(q=\frac{4000}{4}=1.050\)

Mas, suponhamos ainda, que uma delas tenha saído. Assim, a nova divisão (q2) seria

\(q2=\frac{4000}{3}=1.450\)

Ou seja, cada uma das 3 instituições teve um acréscimo na sua contribuição de 350,00.

Veja que aqui é o pulo do gato. Nós não sabemos quanto é a quota inicial, mas sabemos que ela é

\(\frac{342000}{x}\)

O acréscimo foi dado pelo problema, que são os 19.000.

Assim, o novo valor da cota é

\({\frac{342000}{x}}+19000\) para cada instituição que sobrou.

Então, para mostrar isto, vamos chamar de 'C' para o custo total, de 'd' a quantidade de instituições desistentes, para 'x' a quantidade de instituições iniciais (justamente o que o problema pede) e de 'a' ao ajuste necessário para completar o valor 'C' total.

\(C = (x - d) \times (\frac{C}{x}+a)\).

Vamos ver se é verdade pelo exemplo conhecido?

\(4200 = (4 - 1) \times (\frac{4200}{4}+350)\)

\(4200 = 3 \times (1050+350)\)

obviamente

\(4200 = 4200\)

Podemos prosseguir então com a fórmula arranjada.

No nosso problema verdadeiro, usando as letras da fórmula anterior, teremos

\(342.000 = (x - 3) \times (\frac{342000}{x}+19000)\)

Desenvolvendo, que é uma chatice com números tão grandes, obtive

\(19000x^2-57000x-1026000=0\)

Aplicando a fórmula de Bhaskara (Baskhara?,Báscara?), você poderá encontrar o valor correto.

Um abração, espero ter ajudado,
Mauro

[danjr5]

Outra maneira de resolver:

Pensando no desenvolvimento do município, a prefeitura une-se com instituições da cidade para realizar uma feira municipal. Sabendo que terão um custo total de 342 mil reais para a realização do evento e que este custo será dividido igualmente entre as instituições, três destas desistem de participar. Assim, cada instituição restante terá um acréscimo de 19 mil reais ao seu custo. O número original de instituições era de:

a) 8
b) 9
c) 10
d) 12

Número de instituições: x
Quantia a ser paga por cada instituição: y

\(\frac{\text{valor total}}{\text{quantidade de instituicoes}} = \text{quantia a ser paga por cada uma}\)

CONDIÇÃO I:

...Sabendo que terão um custo total de 342 mil reais para a realização do evento e que este custo será dividido igualmente entre as instituições,

\(\frac{342000}{x} = y\)

\(\fbox{xy = 342000}\)


CONDIÇÃO II:

...três destas desistem de participar. Assim, cada instituição restante terá um acréscimo de 19 mil reais ao seu custo.

\(\frac{342000}{x - 3} = y + 19000\)

\((x - 3)(y + 19000) = 342000\)

\(xy + 19000x - 3y - 57000 = 342000\)

\(19000x - 3y = 57000 - \underbrace{xy}_{342000} - 342000\)

\(\fbox{19000x - 3y = 57000}\)


O número de instituições é dado por \(x\), portanto, para encontrá-lo devemos isolar \(y\) em uma das equação e substituir na outra.

\(\fbox{xy = 342000} \Rightarrow y = \frac{342000}{x}\)

Substituindo,...

\(\fbox{19000x - 3y = 57000}\)

\(19000x - 3 \times \frac{342000}{x} = 57000 \;\;\;\;\; \div (1000\)

\(19x - 3 \times \frac{342}{x} = 57\)

\(\frac{19x}{1/x} - 3 \times \frac{342}{x/1} = \frac{57}{1/x}\)

\(19x^2 - 1026 = 57x\)

19x² - 57x - 1026 = 0

\(\Delta = 3249 + 77976\)

\(x = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta }}{2a} \Rightarrow x = \frac{57 \pm \sqrt{81225}}{2 \times 19}\)

\(\begin{cases} x' = \frac{57 + 285}{38} \Rightarrow \fbox{\fbox{x' = 9}} \\\\ x'' = \frac{57 - 285}{38} \Rightarrow x'' = \text{negativo} \end{cases}\)

O outro valor de x (\(x''\)) é negativo, então não precisamos encontrá-lo, pois, o número de instituições não pode ser NEGATIVO.