Sejam x e y que pertencem aos reais positivos. prove que raiz de xy é menor ou igual a x+y/2.

[gislene cirilo]

Prezados, boa noite!

Estou precisando de ajuda em uma questão, se alguém puder me dar uma dica, fico agradecida:
Sejam x e y que pertencem aos reais positivos. prove que raiz de xy é menor ou igual a x+y/2.
Vi um exemplo que considerava o axioma de peano, porém a resolução ficaria muito simples.
Aguardo retorno!

[josesousa]

\((x+y/2)=\) números reais e positivos
\((\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2/2)\)

Estude-se agora

\((\sqrt{x}-\sqrt{y}/\sqrt{2})^2=\)
\((x+y/2)-2\sqrt{x}\sqrt{y}/\sqrt{2}=\)
\((x+y/2) -\sqrt{2}\sqrt{xy}=\)

Como
\((\sqrt{x}-\sqrt{y}/\sqrt{2})^2\geq 0\)
então
\((x+y/2) -\sqrt{2}\sqrt{xy}\geq 0\)
e
\((x+y/2) \geq \sqrt{2}\sqrt{xy} \geq \sqrt{xy}\)