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| equacoes diofantinas https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=3110 |
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| Autor: | SPAMBOT [ 13 jul 2013, 17:46 ] |
| Título da Pergunta: | equacoes diofantinas |
a questao é :ache todas as possibilidades para 54257 + 968x =z^2 (ou z elevado ao quadrado).a soluçao é 8,mas peço que resolvam isso usando equacoes diofantinas (como ternas pitagoricas,equacoes de pell) porque eu nao consegui resolvelo |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 14 jul 2013, 21:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equacoes diofantinas |
\(54257+968x=z^2 \Leftrightarrow x=\frac{z^2-54257}{968}=\frac{z^2-7^2}{968}-56=\frac{(z-7)(z+7)}{968}-56\) Assim sendo, existe solução sempre que \(968=2^3\times 11^2\) divide \((z-7)(z+7)\) para algum z. Casos particulares são \(z\equiv \pm 7 mod 968\). Mas também há que juntar os casos em que \(11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 8 divide z+7 (ou z-7), os casos em que \(2\times 11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 4 divide z+7 (ou z-7), e os casos em que \(4\times 11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 2 divide z+7 (ou z-7). Note-se que o caso \(11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 8 divide z+7 (ou z-7) é redundante (pois se 8 divide z+7 então z-7 é par e vice-versa), reduz-se aos casos \(2\times 11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 4 divide z+7 (ou z-7) ou \(4\times 11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 2 divide z+7 (ou z-7). Há portanto um número infinito de soluções, não só x=8 (quando z=249). Por exemplo z=235 (\(=2\times 11^2-7\)) dá x=1. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 14 jul 2013, 21:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equacoes diofantinas |
Só mais uma nota: Fazendo \(z=242(2k+1)\pm 7\) temos sempre solução para qualquer inteiro k. |
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