Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Prezados, boa noite!

Estou precisando de ajuda em uma questão, se alguém puder me dar uma dica, fico agradecida:
Sejam x e y que pertencem aos reais positivos. prove que raiz de xy é menor ou igual a x+y/2.
Vi um exemplo que considerava o axioma de peano, porém a resolução ficaria muito simples.
Aguardo retorno!

\((x+y/2)=\) números reais e positivos
\((\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2/2)\)

Estude-se agora

\((\sqrt{x}-\sqrt{y}/\sqrt{2})^2=\)
\((x+y/2)-2\sqrt{x}\sqrt{y}/\sqrt{2}=\)
\((x+y/2) -\sqrt{2}\sqrt{xy}=\)

Como
\((\sqrt{x}-\sqrt{y}/\sqrt{2})^2\geq 0\)
então
\((x+y/2) -\sqrt{2}\sqrt{xy}\geq 0\)
e
\((x+y/2) \geq \sqrt{2}\sqrt{xy} \geq \sqrt{xy}\)

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928