Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! :: Ver Pergunta - Se V = [(1,0,-1),(2,1,3),(3,1,-2)], entao a dimensão de V é igual a 3? justifique.

\(v=(x,y,z)= a(1,0,-1) + b(2,1,3) +c(3,1,-2)\Rightarrow (x,y,z)= (a,0,-a) + (2b,b,3b) + (3c,c,-2c)\Leftrightarrow x = a+2b+3c; y=b+c; z=-a+3b-2c.\)
Para terminar essa parte você deve isolar a,b, c em função de x,y,z concluindo se os vetores dados geram o espaço.

e verificar se o conjunto de vetores dados é LI ( basta você calcular o determinante da matriz formada pelos vetores e se for diferente de 0 então o conjunto é LI.)

A matriz que eu tenho que aplicar a eliminação de Gaus é essa?

\(\begin{bmatrix} 1& 2& 3 &|& 0 \\ 0& 1& 1 &|& 0 \\ -1& 3 & -2 &|& 0 \end{bmatrix}\)

Autor:	Daianne [ 21 Oct 2013, 18:26 ]
Título da Pergunta:	Se V = [(1,0,-1),(2,1,3),(3,1,-2)], entao a dimensão de V é igual a 3? justifique.
Se V = [(1,0,-1),(2,1,3),(3,1,-2)], entao a dimensão de V é igual a 3? justifique.

Autor:	Fraol [ 21 Oct 2013, 20:49 ]
Título da Pergunta:	Re: Se V = [(1,0,-1),(2,1,3),(3,1,-2)], entao a dimensão de V é igual a 3? justifique.
Olá, A dimensão é o número de qualquer base de um espaço vetorial. Para ser base de um espaço vetorial o conjunto de vetores deve gerar o espaço e ser LI (linearmente independente) . Então, para responder esta questão você deve verificar se esse conjunto é base do \(R^3\), que pode ser feito assim: \(v=(x,y,z)= a(1,0,-1) + b(2,1,3) +c(3,1,-2)\Rightarrow (x,y,z)= (a,0,-a) + (2b,b,3b) + (3c,c,-2c)\Leftrightarrow x = a+2b+3c; y=b+c; z=-a+3b-2c.\) Para terminar essa parte você deve isolar a,b, c em função de x,y,z concluindo se os vetores dados geram o espaço. e verificar se o conjunto de vetores dados é LI ( basta você calcular o determinante da matriz formada pelos vetores e se for diferente de 0 então o conjunto é LI.) Tente concluir.

Autor:	Daianne [ 31 Oct 2013, 13:55 ]
Título da Pergunta:	Re: Se V = [(1,0,-1),(2,1,3),(3,1,-2)], entao a dimensão de V é igual a 3? justifique.
Nao consegui terminar... =/

Autor:	Fraol [ 31 Oct 2013, 23:29 ]
Título da Pergunta:	Re: Se V = [(1,0,-1),(2,1,3),(3,1,-2)], entao a dimensão de V é igual a 3? justifique.
Boa noite, Citar: \(v=(x,y,z)= a(1,0,-1) + b(2,1,3) +c(3,1,-2)\Rightarrow (x,y,z)= (a,0,-a) + (2b,b,3b) + (3c,c,-2c)\Leftrightarrow x = a+2b+3c; y=b+c; z=-a+3b-2c.\) Para terminar essa parte você deve isolar a,b, c em função de x,y,z concluindo se os vetores dados geram o espaço. Eu vou omitir os detalhes ( é mais trabalhose, mas acho que você poderia tentar desenvolver para treinar, por exemplo usando elimação de Gauss ou outro método que souber para resolver o sistema de equações ), ao isolarmos chegamos em: \(a = \frac{1}{2} \cdot (x - y )\) \(b = \frac{1}{2} \cdot (-x + 6y + z)\) \(c = \frac{1}{2} \cdot (x - 4y + z)\) Então os vetores geram o espaço \(R^3\) (trata-se de uma solução única). Citar: e verificar se o conjunto de vetores dados é LI ( basta você calcular o determinante da matriz formada pelos vetores e se for diferente de 0 então o conjunto é LI.) (esse já é quase direto) \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -4\) Então os vetores são LI. Obs: Uma outra forma, direta, seria montar o sistema 0 = a+2b+3c; 0=b+c; 0=-a+3b-2c, veja que em vez de x, y, z usamos o 0. Nesse caso haveria a necessidade de mostrar que isso só seria verdade se e só se a=b=c=0, há uma referência sobre isso neste tópico aqui.

Autor:	Daianne [ 01 nov 2013, 14:24 ]
Título da Pergunta:	Re: Se V = [(1,0,-1),(2,1,3),(3,1,-2)], entao a dimensão de V é igual a 3? justifique.
Bom dia!! Obrigada pela resposta, mas ainda fiquei com algumas duvidas: A matriz que eu tenho que aplicar a eliminação de Gaus é essa? \(\begin{bmatrix} 1& 2& 3 &\|& 0 \\ 0& 1& 1 &\|& 0 \\ -1& 3 & -2 &\|& 0 \end{bmatrix}\) e no fim chega no sistema: x = a + 2b + 3c y = b + c z = -4c É isso??

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Se V = [(1,0,-1),(2,1,3),(3,1,-2)], entao a dimensão de V é igual a 3? justifique. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=4072	Página 1 de 1

Autor:	Fraol [ 10 nov 2013, 20:59 ]
Título da Pergunta:	Re: Se V = [(1,0,-1),(2,1,3),(3,1,-2)], entao a dimensão de V é igual a 3? justifique.
Daianne Escreveu: A matriz que eu tenho que aplicar a eliminação de Gaus é essa? \(\begin{bmatrix} 1& 2& 3 &\|& 0 \\ 0& 1& 1 &\|& 0 \\ -1& 3 & -2 &\|& 0 \end{bmatrix}\) A matriz que usei tinha, ao invés da coluna com 0 como a sua, os três valores seriam \(x, y, z\). Uma matriz com 0 na última coluna como a sua deveria conter as coordenadas originais dos vetores e, nesse caso você estaria verificando a independência linear, tal como no post que citei. Como no seu problema original pede-se a verificação da dimensão do espaço segui por aquele caminho. Contudo, como de costume, há outros caminhos. Neste outro post aqui há uma solução do amigo João P. Ferreira que é bem mais simples para resolver e entender.

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