No sentido inverso pode ser um pouco mais complicado porque implica mostrar que em \(\mathbb{R}^n\) a noção de
convergência fraca (\(\lim\langle x_n,y\rangle =\langle\lim x_n,y\rangle \quad \forall y\)) coincide a a noção de convergência forte (\(\lim||x_n-a||=0\)) o que não é válido para todos os espaços de Hilbert (de dimensões infinitas).
Tal pode ser feito observando que:
\(||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}\leq |x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|=|\langle x,e_1\rangle |+|\langle x,e_2\rangle |+\cdots +|\langle x,e_n\rangle |\) onde \(e_1,e_2, \dots ,e_n\) formam a base canónica de \(\mathbb{R}^n\).
Assim sendo,
\(||x_n-a||\leq \sum_{k=1}^n|\langle x_n-a,e_k\rangle |\)
e como \(\lim\langle x_n,e_k\rangle =\langle a,e_k\rangle\) para todo o \(k=1,2,\dots ,n\) temos que \(\sum_{k=1}^n |\langle x_n-a,e_k\rangle |\to 0\) logo \(||x_n-a||\to 0\).
Nota: Não confudir o x_n da primeira desigualdade que é uma coordenada de x com o x_n do limite que é um elemento de R^n.
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