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| Mostrar que um subconjunto S de {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} contendo 7 elementos possui dois subconjuntos cuja soma.... https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=4314 |
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| Autor: | Marcella [ 14 nov 2013, 18:17 ] |
| Título da Pergunta: | Mostrar que um subconjunto S de {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} contendo 7 elementos possui dois subconjuntos cuja soma.... |
Mostrar que um subconjunto S de {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} contendo 7 elementos possui dois subconjuntos cuja soma dos elementos é a mesma. |
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| Autor: | cdcarlosdaniel [ 14 nov 2013, 20:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostrar que um subconjunto S de {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} contendo 7 elementos possui dois subconjuntos cuja soma.... |
Marcella Escreveu: Mostrar que um subconjunto S de {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} contendo 7 elementos possui dois subconjuntos cuja soma dos elementos é a mesma. Seja o subconjunto de 7 elementos T:{1,5,8,9,10,11,12} E T1 e T2 subconjuntos de T ,tal que T1:{1,5,10,12} soma dos elementos dá 28 T2:{8,9,11} soma dos elementos da 28 |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 18 nov 2013, 19:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostrar que um subconjunto S de {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} contendo 7 elementos possui dois subconjuntos cuja soma.... [resolvida] |
Não creio que o objetivo do exercício fosse dar um exemplo de um tal conjunto mas sim mostrar que para QUALQUER subconjunto S de {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} com 7 elementos existe pelo menos dois subconjuntos de S cujas somas dos elementos coincidem. Tal como outros problemas aqui postos (muitos deles por esta altura) trata-se de um exercício que se resolve fazendo um uso engenhoso do princípio do pombal: se há mais pombos que gaiolas então alguma gaiola terá de ter mais de um pombo. Neste caso, e como não é dito se os dois subconjuntos de S têm de ser disjuntos ou não ou quantos elementos têm de ter, vou considerar o nº de somas possíveis de subconjuntos de {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (as nossas gaiolas). Estas variam entre 0 (para o subconjunto vazio) e 1+2+3+4+5+...+12=78 (para o subconjunto total*). Temos portanto 79 "gaiolas" no total. Mas um conjunto S com 7 elementos possui 2^7=128 subconjuntos (os nossos pombos) que excede as nossas 79 gaiolas. Logo haverá sempre subconjuntos distintos com a mesma soma. *- Na verdade as somas para subconjuntos de S só vão até 12+11+10+9+8+7+6=57 (corresponde ao conjunto de 7 elementos com maior soma: {6,7,8,9,10,11,12}). PS- Também é possível (e mais interessante) juntar as condições extra de que os subconjuntos de S tenham que ser disjuntos e com dois elementos cada. Isto é, mostrar que se \(S\subset \{1,2,\dots ,12\}\) e \(|S|=7\) então existem \(\{a,b\},\{c,d\}\subset S\) tais que \(a+b=c+d\). |
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