Fórum de Matemática
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Alguém pode me ajudar como prova que :

9 divide 4^n + 6n -1 ?

9 divide n4^n+1 - (n+1)4^n + 1 ?

Bom dia,

Vou ajudar com o primeiro exercício, o segundo deve sair de forma análoga. Vamos lá:



Caso n=1: 4 + 6 - 1 = 9 | 9 (OK).

Hipótese de indução (n=k): \(9 | 4^k + 6k -1\)

Passo indutivo: Vamos analisar a expressão para n = k+1 : \(4^{k+1} + 6{k+1} -1 =\)

\(4 \cdot 4^k + 6\cdot k + 6 - 1 =\)

\(4 \cdot 4^k + (24-18)\cdot k + 9 - 4 =\), aqui \(6 = 24-18\) e \(5 = 9-4\),

\(4 \cdot 4^k + 24k -18k + 9 - 4 =\), aqui distribuimos,

\(4 \cdot \left( 4^k + 6k - 1 \right) -18k + 9 =\), aqui colocamos o 4 em evidência e,

\(4 \cdot \left( 4^k + 6k - 1 \right) + 9 \cdot \left( 1 - 2k)\), aqui colocamos o 9 em evidência.

Observe que na primeira parcela temos um múltiplo de 9, pela hipótese de indução, e a segunda parcela é claramente divisível por 9, isto é

\(9 | 4 \cdot \left( 4^k + 6k - 1 \right) + 9 \cdot \left( 1 - 2k)\)

Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, temos que \(9 | 4^n + 6n -1\), qualquer \(n \in N, n \ge 1\).

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Fraol
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