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| Pergunta sobre indução matemática https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=4509 |
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| Autor: | uendell [ 03 dez 2013, 01:39 ] |
| Título da Pergunta: | Pergunta sobre indução matemática |
Alguém pode me ajudar como prova que : 9 divide 4^n + 6n -1 ? 9 divide n4^n+1 - (n+1)4^n + 1 ? |
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| Autor: | Fraol [ 03 dez 2013, 13:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Pergunta sobre indução matemática |
Bom dia, Vou ajudar com o primeiro exercício, o segundo deve sair de forma análoga. Vamos lá: uendell Escreveu: 9 divide 4^n + 6n -1 ? Caso n=1: 4 + 6 - 1 = 9 | 9 (OK). Hipótese de indução (n=k): \(9 | 4^k + 6k -1\) Passo indutivo: Vamos analisar a expressão para n = k+1 : \(4^{k+1} + 6{k+1} -1 =\) \(4 \cdot 4^k + 6\cdot k + 6 - 1 =\) \(4 \cdot 4^k + (24-18)\cdot k + 9 - 4 =\), aqui \(6 = 24-18\) e \(5 = 9-4\), \(4 \cdot 4^k + 24k -18k + 9 - 4 =\), aqui distribuimos, \(4 \cdot \left( 4^k + 6k - 1 \right) -18k + 9 =\), aqui colocamos o 4 em evidência e, \(4 \cdot \left( 4^k + 6k - 1 \right) + 9 \cdot \left( 1 - 2k)\), aqui colocamos o 9 em evidência. Observe que na primeira parcela temos um múltiplo de 9, pela hipótese de indução, e a segunda parcela é claramente divisível por 9, isto é \(9 | 4 \cdot \left( 4^k + 6k - 1 \right) + 9 \cdot \left( 1 - 2k)\) Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, temos que \(9 | 4^n + 6n -1\), qualquer \(n \in N, n \ge 1\). |
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