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| Questão 19 do capítulo 1 do Rufino vol 0 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=4868 |
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| Autor: | hewertonpaes [ 24 jan 2014, 19:27 ] |
| Título da Pergunta: | Questão 19 do capítulo 1 do Rufino vol 0 |
Seja (a,b,c,d) a quádrupla de números inteiros tais que \(52^a.77^b.88^c.91^d=2002\).O valor de \(a+b-c-d\) é igual a: a resposta é 6 |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 25 jan 2014, 01:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Questão 19 do capítulo 1 do Rufino vol 0 |
Atendendo que \(52=2^2\cdot 13\), \(77=7\cdot 11\), \(88=2^3\cdot 11\), \(91=7\cdot 13\) e \(2002=2\cdot 7\cdot 11 \cdot 13\), temos que \(52^a\cdot 77^b \cdot 88^c \cdot 91^d=2002 \Leftrightarrow\) \(2^{2a+3c}\cdot 7^{b+d}\cdot 11^{b+c}\cdot 13^{a+d}=2^1\cdot 7^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1\) Logo, pelo teorema fundamental da aritmética, obtemos o sistema linear: \(\left{\matrix 2a+3c=1\\b+d=1\\b+c=1\\a+d=1\right.\) Agora é só resolver. |
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| Autor: | Sobolev [ 25 jan 2014, 01:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Questão 19 do capítulo 1 do Rufino vol 0 |
Pode até determinar os valores de todas as constantes. Decompondo em factores primos terá: \((2^2 \cdot 13)^a (7\cdot 11)^b (2^3\cdot 11)^c (7\cdot 13)^d = 2\cdot 7 \cdot 11 \cdot 13\) Da unicidade da decomposição em factores primos tem que \(2a+3c=1, \quad b+d = 1, \quad b+c=1, \quad a+d=1\) Resolvendo o sistema acima tem a = b = 2, c = d = -1, pelo que efectivamente a+b-c-d = 6. |
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