Como resolver inequações com módulos ou inequações modulares
12 fev 2014, 19:24
Olá meus caros. Andei meio sumido por alguns motivos, entre eles o trabalho que andei desempenhando nos mês de dezembro/janeiro, e o estudo para o vestibular da Faculdade de Direito (estava ambicionando entrar em uma segunda universidade). Desde já, quero agradecer a todos pela a ajuda que me deram no ano passado, ela foi crucial para minha aprovação em Economia na EPGE - FGV (instituição a qual frequento atualmente).
Enfim, estou passando por um período de revisão de matemática atualmente, e estou meio enferrujado. Segue abaixo o exercício no qual emperrei:
Dar o resultado de:
A) \(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\)
B) \(|x^2-x-6|\geq |x+2||x-3|\)
C) \(\frac{(x-1)}{2} +3 < 3x-4 \leq 5-\frac{(1-3x)}{6}\)
Espero poder contar com a ajuda de vocês nesse novo ano, e assim que possível voltarei a contribuir em matemáticas do ensino médio (já não tenho mais tanto tempo como no ano passado).
Obs: eu sei que não se pode postar mais de um exercício no fórum, mas note que é somente um exercício e que seria uma bagunça muito maior abrir 3 tópicos para essas 3 letras que não consegui resolver.
Enfim, estou passando por um período de revisão de matemática atualmente, e estou meio enferrujado. Segue abaixo o exercício no qual emperrei:
Dar o resultado de:
A) \(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\)
B) \(|x^2-x-6|\geq |x+2||x-3|\)
C) \(\frac{(x-1)}{2} +3 < 3x-4 \leq 5-\frac{(1-3x)}{6}\)
Espero poder contar com a ajuda de vocês nesse novo ano, e assim que possível voltarei a contribuir em matemáticas do ensino médio (já não tenho mais tanto tempo como no ano passado).
Obs: eu sei que não se pode postar mais de um exercício no fórum, mas note que é somente um exercício e que seria uma bagunça muito maior abrir 3 tópicos para essas 3 letras que não consegui resolver.
Re: Equações modulares
12 fev 2014, 21:08
Caro amigo, se já nos conhecesse de matemáticas anteriores já devia também conhecer as regras da casa 
viewtopic.php?f=66&t=3793
Ficamos felizes que o tenhamos ajudado, mas como calcula não somos máquinas, somos gente que fazemos isto por gosto e filantropia
Assim vamos responder apenas a A)
a forma mais fácil de abordar estes problemas é dividir o \(x\) em vários troços lembrando-se sempre da regra
\(|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ x\geq 0\\ -x,\ x<0 \end{matrix}\right.\)
então deduz-se da regra que
\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ 7x+3\geq 0\\ -(7x+3),\ 7x+3<0 \end{matrix}\right.\)
\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ x\geq -7/3 \\ -7x-3,\ x<-7/3 \end{matrix}\right.\)
também que
\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ 3-x\geq 0\\ -(3-x),\ 3-x<0 \end{matrix}\right.\)
\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ x\leq 3\\ -3+x,\ x>3 \end{matrix}\right.\)
e assim em diante
depois divida a reta \(\R\) em vários troços (por exemplo -7/3 e 3 são pontos que separam troços) e a cada troço substitua os módulos pelo respetivo caso..
Consegue avançar?
PS: e já que o ajudámos dê uma ajuda por aqui nas que souber, que as contribuições são sempre bem-vindas
search.php?search_id=unanswered
viewtopic.php?f=66&t=3793
Ficamos felizes que o tenhamos ajudado, mas como calcula não somos máquinas, somos gente que fazemos isto por gosto e filantropia
Assim vamos responder apenas a A)
a forma mais fácil de abordar estes problemas é dividir o \(x\) em vários troços lembrando-se sempre da regra
\(|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ x\geq 0\\ -x,\ x<0 \end{matrix}\right.\)
então deduz-se da regra que
\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ 7x+3\geq 0\\ -(7x+3),\ 7x+3<0 \end{matrix}\right.\)
\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ x\geq -7/3 \\ -7x-3,\ x<-7/3 \end{matrix}\right.\)
também que
\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ 3-x\geq 0\\ -(3-x),\ 3-x<0 \end{matrix}\right.\)
\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ x\leq 3\\ -3+x,\ x>3 \end{matrix}\right.\)
e assim em diante
depois divida a reta \(\R\) em vários troços (por exemplo -7/3 e 3 são pontos que separam troços) e a cada troço substitua os módulos pelo respetivo caso..
Consegue avançar?
PS: e já que o ajudámos dê uma ajuda por aqui nas que souber, que as contribuições são sempre bem-vindas
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Re: Equações modulares
12 fev 2014, 21:25
João P. Ferreira Escreveu:Caro amigo, se já nos conhecesse de matemáticas anteriores já devia também conhecer as regras da casa
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Ficamos felizes que o tenhamos ajudado, mas como calcula não somos máquinas, somos gente que fazemos isto por gosto e filantropia
Assim vamos responder apenas a A)
a forma mais fácil de abordar estes problemas é dividir o \(x\) em vários troços lembrando-se sempre da regra
\(|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ x\geq 0\\ -x,\ x<0 \end{matrix}\right.\)
então deduz-se da regra que
\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ 7x+3\geq 0\\ -(7x+3),\ 7x+3<0 \end{matrix}\right.\)
\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ x\geq -7/3 \\ -7x-3,\ x<-7/3 \end{matrix}\right.\)
também que
\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ 3-x\geq 0\\ -(3-x),\ 3-x<0 \end{matrix}\right.\)
\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ x\leq 3\\ -3+x,\ x>3 \end{matrix}\right.\)
e assim em diante
depois divida a reta \(\R\) em vários troços (por exemplo -7/3 e 3 são pontos que separam troços) e a cada troço substitua os módulos pelo respetivo caso..
Consegue avançar?
PS: e já que o ajudámos dê uma ajuda por aqui nas que souber, que as contribuições são sempre bem-vindas
search.php?search_id=unanswered
Salientei ali no final do tópico que "eu sei que não se pode postar mais de um exercício no fórum, mas note que é somente um exercício e que seria uma bagunça muito maior abrir 3 tópicos para essas 3 letras que não consegui resolver". Apenas achei que seria pertinente postar, já que realmente tentei fazer os três e não consegui (dos 20 do exercício, somente esses 3 ficaram faltando)
Quanto ao exercício respondido, muitíssimo obrigado.
E já sobre as contribuições, provavelmente não se lembra de mim, mas já contribui - não tanto quanto você ou outros membros - de forma significativa para a comunidade, sobretudo em matemática de nível médio. Não tenho feito isso atualmente por falta de tempo.
Re: Equações modulares
13 fev 2014, 10:33
Perdão caro Jzaiden
peço imensa desculpa, nem reparei que também é contribuidor oficial
Sabe, as perguntas são tantas que já estou a perder o meu lado humano, estando a ficar uma máquina de respostas de matemática e o cansaço às vezes é tal que nem leio a pergunta toda e nem vejo mesmo quem posta
As minhas sinceras desculpas
Sempre conseguiu resolver o problema? De certeza?
Se precisar do resto da resolução diga, que posto aqui
um abraço e sempre que voltar a tiver tempo, ajude aqui a comunidade
peço imensa desculpa, nem reparei que também é contribuidor oficial
Sabe, as perguntas são tantas que já estou a perder o meu lado humano, estando a ficar uma máquina de respostas de matemática e o cansaço às vezes é tal que nem leio a pergunta toda e nem vejo mesmo quem posta
As minhas sinceras desculpas
Sempre conseguiu resolver o problema? De certeza?
Se precisar do resto da resolução diga, que posto aqui
um abraço e sempre que voltar a tiver tempo, ajude aqui a comunidade
Re: Equações modulares
13 fev 2014, 16:39
João P. Ferreira Escreveu:Perdão caro Jzaiden
peço imensa desculpa, nem reparei que também é contribuidor oficial
Sabe, as perguntas são tantas que já estou a perder o meu lado humano, estando a ficar uma máquina de respostas de matemática e o cansaço às vezes é tal que nem leio a pergunta toda e nem vejo mesmo quem posta
As minhas sinceras desculpas
Sempre conseguiu resolver o problema? De certeza?
Se precisar do resto da resolução diga, que posto aqui
um abraço e sempre que voltar a tiver tempo, ajude aqui a comunidade
Que isso, não precisa pedir perdão. Tanto você quanto a comunidade aqui já me ajudaram de veramente.
Bom, de qualquer forma, não consegui entender a questão ainda. Se puder fazer detalhadamente passo a passo só a letra A mesmo, já ficaria muito grato.
E quanto as contribuições, provavelmente voltarei a contribuir daqui algumas semanas. Gosto de tentar resolver exercícios do que estou aprendendo (no caso, comecei a estudar Cálculo tem 3 dias), e assim que eu tiver uma base boa eu estarei aqui quebrando a cabeça em certas coisas.
Um abraço.
Re: Equações modulares
13 fev 2014, 17:43
com prazer meu caro
\(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\)
continuando, sabe-se que
\(|X|=\left\{\begin{matrix} X,\ X\geq 0\\ -X,\ X<0 \end{matrix}\right.\)
então deduz-se da regra que
\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ 7x+3\geq 0\\ -(7x+3),\ 7x+3<0 \end{matrix}\right.\)
\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ x\geq -7/3 \\ -7x-3,\ x<-7/3 \end{matrix}\right.\)
também que
\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ 3-x\geq 0\\ -(3-x),\ 3-x<0 \end{matrix}\right.\)
\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ x\leq 3\\ -3+x,\ x>3 \end{matrix}\right.\)
e
\(|x+1|=\left\{\begin{matrix} x+1,\ x+1\geq 0\\ -(x+1),\ x+1<0 \end{matrix}\right.\)
\(|x+1|=\left\{\begin{matrix} x+1,\ x\geq -1\\ -x-1,\ x<-1 \end{matrix}\right.\)
ficamos então na reta \(\R\) com 4 troços, separados pelos pontos -7/3, -1 e 3
Os quatro troços são então
\(x\in ]-\infty, -7/3]\)
\(x\in ]-7/3, -1]\)
\(x\in ]-1,3]\)
\(x\in ]3,+\infty[\)
a cada troço cada função módulo aplica um caso
Primeiro troço
quando \(x\in ]-\infty, -7/3]\) a nossa expressão \(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\) fica igual a
\(-7x-3-3+x> 6(-x-1)\)
\(-6x-6> -6(x+1)\)
multiplicando tudo por -1/6
\(x+1>x+1\)
o que é sempre falso, logo \(x\in ]-\infty, -7/3]\) não faz parte do conjunto solução
Segundo troço
quando \(x\in ]-7/3, -1]\) a nossa expressão \(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\) fica igual a
\(7x+3-3+x> -6(x+1)\)
\(8x> -6x-1\)
\(14x>-1\)
\(x>-1/14\)
a nossa solução neste troço é então a interseção dos dois conjuntos ficando então com \(]-7/3, -1]\cap ]-1/14,+\infty[\) dando o conjunto vazio
agora é só fazer para os troços número 3 e 4
no final é só fazer a união dos conjuntos solução em cada troço
Repare que esta não é a única forma, nem porventura a mais rápida ou simples, mas é universal e serve para todos os casos independentemente da quantidade de módulos que tiver numa equação
PS: não garanto que os cálculos estejam certos...
\(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\)
continuando, sabe-se que
\(|X|=\left\{\begin{matrix} X,\ X\geq 0\\ -X,\ X<0 \end{matrix}\right.\)
então deduz-se da regra que
\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ 7x+3\geq 0\\ -(7x+3),\ 7x+3<0 \end{matrix}\right.\)
\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ x\geq -7/3 \\ -7x-3,\ x<-7/3 \end{matrix}\right.\)
também que
\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ 3-x\geq 0\\ -(3-x),\ 3-x<0 \end{matrix}\right.\)
\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ x\leq 3\\ -3+x,\ x>3 \end{matrix}\right.\)
e
\(|x+1|=\left\{\begin{matrix} x+1,\ x+1\geq 0\\ -(x+1),\ x+1<0 \end{matrix}\right.\)
\(|x+1|=\left\{\begin{matrix} x+1,\ x\geq -1\\ -x-1,\ x<-1 \end{matrix}\right.\)
ficamos então na reta \(\R\) com 4 troços, separados pelos pontos -7/3, -1 e 3
Os quatro troços são então
\(x\in ]-\infty, -7/3]\)
\(x\in ]-7/3, -1]\)
\(x\in ]-1,3]\)
\(x\in ]3,+\infty[\)
a cada troço cada função módulo aplica um caso
Primeiro troço
quando \(x\in ]-\infty, -7/3]\) a nossa expressão \(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\) fica igual a
\(-7x-3-3+x> 6(-x-1)\)
\(-6x-6> -6(x+1)\)
multiplicando tudo por -1/6
\(x+1>x+1\)
o que é sempre falso, logo \(x\in ]-\infty, -7/3]\) não faz parte do conjunto solução
Segundo troço
quando \(x\in ]-7/3, -1]\) a nossa expressão \(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\) fica igual a
\(7x+3-3+x> -6(x+1)\)
\(8x> -6x-1\)
\(14x>-1\)
\(x>-1/14\)
a nossa solução neste troço é então a interseção dos dois conjuntos ficando então com \(]-7/3, -1]\cap ]-1/14,+\infty[\) dando o conjunto vazio
agora é só fazer para os troços número 3 e 4
no final é só fazer a união dos conjuntos solução em cada troço
Repare que esta não é a única forma, nem porventura a mais rápida ou simples, mas é universal e serve para todos os casos independentemente da quantidade de módulos que tiver numa equação
PS: não garanto que os cálculos estejam certos...
Re: Equações modulares
13 fev 2014, 19:59
outra forma de resolver este problema é lembrar-se que se
\(|X|<a\) equivale a
\(-a<X<a\)
\(X>-a\ \wedge \ X<a\)
e que
\(|X|>a\) equivale a
\(X<-a\ \vee \ X>a\)
então resolvendo
\(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1| \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow |x+1|<1/6.|7x+3|+1/6.|3-x|\)
equivale a
\(x+1>-(1/6.|7x+3|+1/6.|3-x|)\ \wedge \ x+1<1/6.|7x+3|+1/6.|3-x|\)
multiplicando tudo por 6
\(6x+6>-|7x+3|-|3-x|\ \wedge \ 6x+6<|7x+3|+|3-x|\)
repare que a expressão que tinha 3 módulos passou a duas, cada uma tendo apenas dois módulos
\(6x+6+|7x+3|>-|3-x|\ \wedge \ 6x+6-|7x+3|<|3-x|\)
\(|3-x|>-6x-6-|7x+3| \ \wedge \ |3-x|>6x+6-|7x+3|\)
então voltando a dividir...
\(\left(3-x>-6x-6-|7x+3|\ \vee \ 3-x<6x+6+|7x+3|\right) \ \wedge \ \left(3-x>6x+6-|7x+3|\ \vee \ 3-x<-6x-6+|7x+3|\right)\)
agora é continuar e voltar a dividir cada um dos módulos.
Cada expressão vai-se dividindo em dois, e por aí sucessivamente
Considerando que tem três módulos na equação no final ficará com \(2^3=8\) inequações
\(|X|<a\) equivale a
\(-a<X<a\)
\(X>-a\ \wedge \ X<a\)
e que
\(|X|>a\) equivale a
\(X<-a\ \vee \ X>a\)
então resolvendo
\(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1| \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow |x+1|<1/6.|7x+3|+1/6.|3-x|\)
equivale a
\(x+1>-(1/6.|7x+3|+1/6.|3-x|)\ \wedge \ x+1<1/6.|7x+3|+1/6.|3-x|\)
multiplicando tudo por 6
\(6x+6>-|7x+3|-|3-x|\ \wedge \ 6x+6<|7x+3|+|3-x|\)
repare que a expressão que tinha 3 módulos passou a duas, cada uma tendo apenas dois módulos
\(6x+6+|7x+3|>-|3-x|\ \wedge \ 6x+6-|7x+3|<|3-x|\)
\(|3-x|>-6x-6-|7x+3| \ \wedge \ |3-x|>6x+6-|7x+3|\)
então voltando a dividir...
\(\left(3-x>-6x-6-|7x+3|\ \vee \ 3-x<6x+6+|7x+3|\right) \ \wedge \ \left(3-x>6x+6-|7x+3|\ \vee \ 3-x<-6x-6+|7x+3|\right)\)
agora é continuar e voltar a dividir cada um dos módulos.
Cada expressão vai-se dividindo em dois, e por aí sucessivamente
Considerando que tem três módulos na equação no final ficará com \(2^3=8\) inequações
Re: Como resolver inequações com módulos ou inequações modulares [resolvida]
18 fev 2014, 01:30
João, mais uma vez muitíssimo obrigado. Deu certo aqui. Consegui fazer o restante. Desculpe-me por qualquer transtorno.
Re: Como resolver inequações com módulos ou inequações modulares
18 fev 2014, 11:49
sempre às ordens