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| Cortes de Dedekind https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=5267 |
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| Autor: | ederaugusto [ 27 fev 2014, 05:32 ] |
| Título da Pergunta: | Cortes de Dedekind |
Estava acompanhando uma aula de analise onde são tratados os cortes de Dedekind Um corte é definido como sendo um subconjunto \(A\) de \(\mathbb{Q}\) tal que: 1) \(A \neq \mathbb{Q}\), \(A \neq \emptyset\) 2) se \(p \in A, q \in \mathbb{Q}, q < p\) então \(q \in \mathbb{A}\) 3) se \(p \in A\) então \(p < r\) para algum \(r \in A\) Ai surgem duas dúvidas: \(X = \{x \in \mathbb{Q} | x^{2} < 2 \}\) é um corte? \(\mathbb{Q}_{-}\) (conjunto dos racionais negativos) é um corte? É falado que a condição 2 obriga o conjunto a ser fechado a esquerda e isso não ficou claro... porque se o intervalo for aberto eu consigo achar um q < p e que ainda seja elemento de A. O mesmo aconteceria pra \(\mathbb{Q}_{-}\), o que não seria um corte válido, sendo um intervalo aberto a esquerda, entretanto a aula falava que \(\mathbb{Q}_{-}\) é um corte... não entendi isso... Será que alguém pode me dar uma ajuda? |
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| Autor: | Sobolev [ 27 fev 2014, 10:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cortes de Dedekind |
Neste contexto, quando se diz que o conjunto é fechado à esquerda, isto não é dito no sentido da topologia (conjuntos abertos/fechados/etc), quer-se simplesmente dizer que todos os racionais à esquerda de um elemento de A são certamente elementos de A. De facto, o conjunto A não pode ter minorantes. Nesse sentido, o conjunto X que apresenta não é um corte (por exemplo -1 é elemento do conjunto X mas existem racionais inferiores a -1 que não pertencem a X) mas o conjunto dos racionais negativos é um corte (repare que é importante que não inclua o zero, de modo a poder verificar a terceira condição). |
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