Fórum de Matemática
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Alguem para ajudar nesta indução?
Mostre por meio do principio de inducao matematica que 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n ≤ 1

É muito fácil mostrar que o que vc tem quando \(n\to +\infty\) é

\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}=\frac{1/2}{1-1/2}=1\)

por indução tem aqui um bom exemplo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7 ... ca#Exemplo

vamos resolver o seu caso

base
para \(n=1\) é válido pois

\(1\leq1\)

passo indutivo
se é válido para \(n\) ; também é válido para \(n+1\) ???

dando esta expressão como verdade
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}\leq 1\)

será que esta é verdadeira???
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}\leq 1\)

avancemos

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n}2}\leq 1\)

multiplicando tudo por 2

\(\frac{2}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+...+\frac{2}{2^n}+\frac{1}{2^{n}}\leq 2\)

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{2}{2^n}+\frac{1}{2^{n}}\leq 2\)

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n.2^{-1}}+\frac{1}{2^{n}}\leq 2-1\)

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n}}\leq 1\)

sim, a resposta é sim!

logo prova-se assim por indução matemática que a premissa estava correta

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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