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| Principio de Indução https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=5413 |
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| Autor: | ivoski [ 14 mar 2014, 18:20 ] |
| Título da Pergunta: | Principio de Indução |
Alguem para ajudar nesta indução? Mostre por meio do principio de inducao matematica que 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n ≤ 1 |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 16 mar 2014, 00:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Principio de Indução |
É muito fácil mostrar que o que vc tem quando \(n\to +\infty\) é \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}=\frac{1/2}{1-1/2}=1\) por indução tem aqui um bom exemplo http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7 ... ca#Exemplo vamos resolver o seu caso base para \(n=1\) é válido pois \(1\leq1\) passo indutivo se é válido para \(n\) ; também é válido para \(n+1\) ??? dando esta expressão como verdade \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}\leq 1\) será que esta é verdadeira??? \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}\leq 1\) avancemos \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n}2}\leq 1\) multiplicando tudo por 2 \(\frac{2}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+...+\frac{2}{2^n}+\frac{1}{2^{n}}\leq 2\) \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{2}{2^n}+\frac{1}{2^{n}}\leq 2\) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n.2^{-1}}+\frac{1}{2^{n}}\leq 2-1\) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n}}\leq 1\) sim, a resposta é sim! logo prova-se assim por indução matemática que a premissa estava correta |
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