Duvida com Exercícios de Indução matemática

[GuihBasilio]

Olá pessoal, estou com uma lista de exercícios de indução matemática da minha faculdade, e por ter faltado em algumas aulas estou apanhando bastante em dois exercicios, são esses:

6) - Provar, por indução matemática, as seguintes proposições relativas aos inteiros positivos:
A) - P(n): 1/2.5+1/5.8+⋯+1/((3n-1)(3n+2))=n/(6n+4)
B) - P(n): 1/1.4+1/4.7+⋯+1/(3n-2)(3n+1) =n/(3n+1)

Poderiam me ajudar com esses dois exercícios, tenho prova essa semana e estou desesperado para aprender. ? Desde já agradeço.

[Fraol]

Boa noite,

Essas provas seguem sempre o mesmo roteiro: Caso base; Hipótese (dada no enunciado) e Passo Indutivo (geralmente tratar o caso n+1).

Da lista vou ajudar no primeiro:

A) - P(n): 1/2.5+1/5.8+⋯+1/((3n-1)(3n+2))=n/(6n+4)

Caso base: \(n=1: \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{10} = \frac{n}{6n+4}\), logo a proposição é verdadeira para a base.

Hipótese Indutiva: \(P(n): \frac{1}{2.5} + \frac{1}{5.8}+ . . . +\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}= \frac{n}{6n+4}\)

Passo Indutivo: Provar que a proposição vale para o caso n+1:

Escreva a expressão para o caso n+1:
\(P(n+1): \frac{1}{2.5} + \frac{1}{5.8}+ . . . +\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} +\frac{1}{(3(n+1)-1)(3(n+1)+2)} =\)

Aplique a hipótese na primeira parte da expressão:
\(\frac{n}{6n+4} +\frac{1}{(3(n+1)-1)(3(n+1)+2)} =\)

Desenvolva a nova expressão:
\(\frac{n}{2(3n+2)} +\frac{1}{(3n+2)(3n+5)} =\)

Agora vamos usar o MMC dos denominadores, em seguida fatore o numerador:
\(\frac{n(3n+5) + 2)}{2(3n+2)(3n+5)} = \frac{3n^2+5n+2}{2(3n+2)(3n+5)} = \frac{(n+1)(3n+2)}{2(3n+2)(3n+5)} =\)

Agora, está praticamente pronto, é só completar (mais um passinho) as contas e chegar ao resultado desejado.