Uma ajudinha aqui:
Se \(ab=\sqrt{3}\) e \(a^{2}-b^{2}=3\) ,ache o valor da expressão \(L=(\frac{a}{b})^{4}+(\frac{b}{a})^{4}\)
a)13 b)15 c)23 d)33 d)123
Help!!!
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| Autor: | jomatlove [ 15 mar 2014, 01:30 ] |
| Título da Pergunta: | Produtos notáveis |
Uma ajudinha aqui: Se \(ab=\sqrt{3}\) e \(a^{2}-b^{2}=3\) ,ache o valor da expressão \(L=(\frac{a}{b})^{4}+(\frac{b}{a})^{4}\) a)13 b)15 c)23 d)33 d)123 Help!!!
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| Autor: | danjr5 [ 15 mar 2014, 14:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos notáveis [resolvida] |
Olá jomatlove, bom dia! \(L = \left ( \frac{a}{b} \right )^4 + \left ( \frac{b}{a} \right )^4\) \(L = \frac{a^4}{b^4} + \frac{b^4}{a^4}\) \(L = \frac{a^8 + b^8}{a^4b^4}\) \(L = \frac{(a^8 + 2a^4b^4 + b^8) - 2a^4b^4}{a^4b^4}\) \(\fbox{L = \frac{(a^4 + b^4)^2 - 2a^4b^4}{a^4b^4}}\) Da condição I), \(ab = \sqrt{3}\) \(\left ( ab \right )^4 = \left ( \sqrt{3} \right )^4\) \(a^4b^4 = \sqrt{81}\) \(\fbox{a^4b^4 = 9}\) Da condição II), \(a^2 - b^2 = 3\) \(\left ( a^2 - b^2 \right )^2 = (3)^2\) \(a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = 9\) \(a^4 + b^4 = 9 + 2 \cdot (ab)^2\) \(a^4 + b^4 = 9 + 2 \cdot (\sqrt{3})^2\) \(\fbox{a^4 + b^4 = 15}\) Por fim, voltamos a equação inicial... \(L = \frac{(a^4 + b^4)^2 - 2a^4b^4}{a^4b^4}\) \(L = \frac{(15)^2 - 2 \cdot 9}{9}\) \(L = \frac{225 - 18}{9}\) \(L = \frac{207}{9}\) \(\fbox{\fbox{L = 23}}\) |
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