Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Uma ajudinha aqui:

Se \(ab=\sqrt{3}\) e \(a^{2}-b^{2}=3\) ,ache o valor da expressão \(L=(\frac{a}{b})^{4}+(\frac{b}{a})^{4}\)

a)13 b)15 c)23 d)33 d)123



Help!!!

Olá jomatlove,
bom dia!

\(L = \left ( \frac{a}{b} \right )^4 + \left ( \frac{b}{a} \right )^4\)

\(L = \frac{a^4}{b^4} + \frac{b^4}{a^4}\)

\(L = \frac{a^8 + b^8}{a^4b^4}\)

\(L = \frac{(a^8 + 2a^4b^4 + b^8) - 2a^4b^4}{a^4b^4}\)

\(\fbox{L = \frac{(a^4 + b^4)^2 - 2a^4b^4}{a^4b^4}}\)


Da condição I),

\(ab = \sqrt{3}\)

\(\left ( ab \right )^4 = \left ( \sqrt{3} \right )^4\)

\(a^4b^4 = \sqrt{81}\)

\(\fbox{a^4b^4 = 9}\)


Da condição II),

\(a^2 - b^2 = 3\)

\(\left ( a^2 - b^2 \right )^2 = (3)^2\)

\(a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = 9\)

\(a^4 + b^4 = 9 + 2 \cdot (ab)^2\)

\(a^4 + b^4 = 9 + 2 \cdot (\sqrt{3})^2\)

\(\fbox{a^4 + b^4 = 15}\)


Por fim, voltamos a equação inicial...

\(L = \frac{(a^4 + b^4)^2 - 2a^4b^4}{a^4b^4}\)

\(L = \frac{(15)^2 - 2 \cdot 9}{9}\)

\(L = \frac{225 - 18}{9}\)

\(L = \frac{207}{9}\)

\(\fbox{\fbox{L = 23}}\)

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Daniel Ferreira
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