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A regra aqui no forum é um problema por post.
Vou só responder aos exercícios 2 e 3 até porque os outros são 100% de trabalho 0% de inspiração.
Ex2: Seja \(x\) um elemento de \(A\) idempotente (i.e. \(x^2=x\)) e não divisor de zero. Vamos ver que \(x\) é identidade do anel (que por unicidade da unidade será único). Como \(x^2=x\) temos que, para qualquer \(a\in A\), \(x^2a=xa\), logo \(x(xa-a)=0\), donde se conclue pelo facto de \(x\) não dividir o zero que \(xa-a=0\), logo \(xa=a\). Com o mesmo tipo de raciocínio, mostra-se que \(ax=a\) para todo o \(a\in A\) e portanto \(A\) tem um elemento neutro para a multiplicação que é o \(x\).
Ex3: Dado um elemento \(a\in A\), seja \(x=-a\) o seu simétrico. Da equação \(a+x=0\) tiramos as equações \(a^2+ax=0\) (multiplicando por a à esquerda) e \(ax+x^2=0\) (multiplicando por x à direita). Estas são equivalentes a \(a+ax=0\) e \(ax+x=0\) (pela condição de idempotência), donde se tira que \(a=x\) (ou seja, \(a=-a\)). A comutatividade do anel sai da condição \(a+b=(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a+b+ab+ba\) que implica que \(ab=-ba=ba\) (pois já se provou que \(x=-x , \forall x\in A\)).
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