Fórum de Matemática
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Seja K um número complexo e F uma curva do quarto grau em PC2 dado por F=x^4+xy³+y^4-Kzy³-2x²yz-xy²z+y²z².
Mostre que existem exatamente dois valores de K para os quais F tem um segundo ponto singular além do (0:0:1).

Sabendo que um ponto singular P satisfaz F(P)=Fx(P)=Fy(P)=Fz(P)=0.

Não sei se existe um método mais simples. O caminho que segui (e não tive paciência/tempo para completar) foi o seguinte (vou só indicar os passos). Da equação \(F_z(P)=0\) tira que \((-Ky^2-2x^2-xy+2yz)y=0\) logo \(y=0\) (donde substituindo nas outras condições se tira o ponto singular P=[0:0:1]), ou \(-Ky^2-2x^2-xy+2yz=0\). Se \(y\not= 0\), podemos fixar \(y=1\) (pois estamos em coordenadas projetivas) nas várias condições \(F(P)=F_x(P)=F_y(P)=F_z(P)=0\) obtemos o sistema de equações algébricas (não-homogêneas):

\(\left\{\begin{array}{l}x^4+x+1-Kz-2x^2z-xz+z^2=0\\4x^3+1-4xz-z=0\\3x+4-3Kz-2x^2z-2xz+2z^2=0\\-K-2x^2-x+2z=0\end{array}\right.\)

Deste sistema é possível isolar K em função de (x,z) (pela 4ª equação) e de isolar z em função de x (pela 2ª equação). Fazendo as substituições de K e z nas restantes equações obtemos duas equações polinomiais em x. Ou seja a coordenada x de um ponto singular terá de ser um zero de dois polinómios, e portanto um zero do máximo divisor comum desses dois polinómios. Se for fazer as contas e conseguir verificar que esse máximo divisor comum tem grau dois então há só dois valores possíveis (\(x_1\) e \(x_2\)) para a coordenada x dos pontos singulares, cada um dos quais define a coordenada z (\(z_1\) e \(z_2\)). Este pontos singulares existem se e só se o K tomar os valores \(K_1=2z_1-2x_1^2-x_1\) e \(K_1=2z_2-2x_2^2-x_2\).

Muito obrigado pela ajuda, agora acho que termina de sair.
Só uma dúvida, é bem básica, porém estou começando com geometria projetiva agora e estou tendo um pouco de dificuldades, o que você faz exatamente quando fixou y=1 e por que pode fazer isso?

Note que em coordenadas projetivas \([x:y:z]=[\lambda x:\lambda y:\lambda z] \forall \lambda\not=0\) assim, se \(y\not=0\), temos \([x:y:z]=[x/y:1:z/y]\) (ou seja, podemos supor y=1).

Repare que uma curva projetiva é dada sempre por uma equação homogênia (onde todos os termos têm o mesmo grau) de modo que se (x,y,z) é solução então (kx,ky,kz) também é solução.