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| Números Racionais https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=5637 |
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| Autor: | pinkman [ 05 abr 2014, 04:50 ] |
| Título da Pergunta: | Números Racionais |
A fração \(\frac{37}{13}\) pode ser escrita na forma 2 + \(\frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}\) onde x,y e z são inteiros positivos. O valor da soma x^2 + y^2 + z^2 tem como resultado ,um número que: R:possui 8 divisores naturais |
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| Autor: | danjr5 [ 05 abr 2014, 15:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Números Racionais [resolvida] |
Olá pinkman, boa tarde! Ótima questão! Ao efectuar a divisão 37/13, note que a parte inteira (divisor) vale 2, assim como na fracção; enfim, a parte inteira é sempre a maior, daí, \(\frac{37}{13} =\) \(\frac{26}{13} + \frac{11}{13} =\) \(2 + 1 \cdot \frac{11}{13} =\) \(2 + 1 \div \frac{13}{11} =\) \(2 + \frac{1}{\frac{13}{11}} =\) \(2 + \frac{1}{\frac{11}{11} + \frac{2}{11}} =\) \(2 + \frac{1}{1 + 1 \cdot \frac{2}{11}} =\) \(2 + \frac{1}{1 + 1 \div \frac{11}{2}} =\) \(2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{11}{2}}} =\) \(2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{10}{2} + \frac{1}{2}}} =\) \(\fbox{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{5 + \frac{1}{2}}}}\) Portanto, \(\fbox{x = 1}\), \(\fbox{y = 5}\) e \(\fbox{z = 2}\). Com efeito, \(\\ x^2 + y^2 + z^2 = {1} + {25} + {4} \\\\ x^2 + y^2 + z^2 = {30} \\\\ x^2 + y^2 + z^2 = {2} \cdot {3} \cdot {5} \\\\ x^2 + y^2 + z^2 = {2}^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1\) Obtemos a quantidade de divisores somando 1 a cada expoente (de cada base) e multiplicando-os. Por fim, \(\\ (1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = \\\\ 2 \cdot 2 \cdot 2 = \\\\ \fbox{\fbox{8}}\) |
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