Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

\(1+p+p^2+p^3+p^4=n^2\) .Quantos P primos existe para N natural nessas condições?
1 etapa:
Obs.:Vou deixar,algumas de minhas descobertas,espero que possa ajudar.
.\((p^5-1)=(p-1)(p^4+p^3+p^2+p+1)\)
.\(p^5-1=(p-1)n^2\)
.\(n^2= \frac{p^5-1}{p-1}\)
.\(\frac{(p-1)!+1}{p}\)

2 etapa:
.\(p^5-1=0(modp-1)\)
.\(p^5=1(modp-1)\)
.\(p^5=p(mod5)\) =>\(a^p=a(modp)\) / p primo,a qualquer.
.\(p^4=1(mod5)\) =>\(a^fi(n)=1(modn)\) / mdc(a,n)=1.

Obs:a partir da segunda etapa o símbolo = (símbolo de congruência)

.Possíveis algarismos das unidades de n.:\({1,5,9}\),p.:\({1,3,7,9}\)

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''Viva a matemática,assim a razão da vida será lógica''

Siga os seguintes passos:

1. Mostre que se \(n^2=1+p+p^2+p^3+p^4\) então \(n\equiv 1 \mbox{mod} p\) ou \(n\equiv -1 \mbox{mod} p\).

2. Mostre que \(p^2+1<n<p^2+p\).

3. Conclua de 1. e 2. que \(n=p^2+p-1\).

4. Finalmente, verifique que p=3 é o unico primo que satisfaz \((p^2+p-1)^2=1+p+p^2+p^3+p^4\).