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| Demonstre por indução : https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=5822 |
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| Autor: | marcoss [ 21 abr 2014, 14:26 ] |
| Título da Pergunta: | Demonstre por indução : |
Demonstre por indução que : Demonstre por indunção que 1^3 + 2^3 + ... + n^ 3 = (1 + 2 + ... + n)^ 2 , (n > 1). |
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| Autor: | mpereira [ 21 abr 2014, 16:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstre por indução : |
A indução divide-se em duas partes: um teste para o primeiro caso e assumindo que algo se verifica para n, tentar provar para n+1. Tendo em conta que tal se verifica para n>1, o primeiro caso será para n=2. Este teste é trivial já que: \(1^3+2^3=9=(1+2)^2.\) Agora, partimos da hipótese que \(1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2\). Será que \(1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+...+n+(n+1))^2\)? Ora, é trivial que \(1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+...+n)^2+(n+1)^3\). Agora vamos pegar nessa expressão e tentar manipular até (1+2+...+n+(n+1))^2. \((1+2+...+n)^2+(n+1)^3=(1+2+...+n)^2+(n+1)(n+1)^2=(1+2+...+n+(n+1))^2 \square\) Nota.1: Para establecer esta última igualdade é importante utilizar os coeficientes do triângulo de Pascal e as propriedades das combinações. Eu omiti esta parte desta demonstração tendo em conta o quão moroso é este trabalho, mas se tiver alguma dificuldade sinta-se à vontade para dispor. Nota.2: \(n+1=_{n}^{n+1}\textrm{C}+_{n}^{n}\textrm{C}=_{n+1}^{n+1}\textrm{C}\). |
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