Demonstre por indução :

[marcoss]

Demonstre por indução que : Demonstre por indunção que 1^3 + 2^3 + ... + n^
3 = (1 + 2 + ... + n)^
2
, (n > 1).

[mpereira]

A indução divide-se em duas partes: um teste para o primeiro caso e assumindo que algo se verifica para n, tentar provar para n+1.
Tendo em conta que tal se verifica para n>1, o primeiro caso será para n=2. Este teste é trivial já que:
\(1^3+2^3=9=(1+2)^2.\)
Agora, partimos da hipótese que \(1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2\). Será que \(1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+...+n+(n+1))^2\)?
Ora, é trivial que \(1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+...+n)^2+(n+1)^3\). Agora vamos pegar nessa expressão e tentar manipular até (1+2+...+n+(n+1))^2.
\((1+2+...+n)^2+(n+1)^3=(1+2+...+n)^2+(n+1)(n+1)^2=(1+2+...+n+(n+1))^2 \square\)
Nota.1: Para establecer esta última igualdade é importante utilizar os coeficientes do triângulo de Pascal e as propriedades das combinações. Eu omiti esta parte desta demonstração tendo em conta o quão moroso é este trabalho, mas se tiver alguma dificuldade sinta-se à vontade para dispor.
Nota.2: \(n+1=_{n}^{n+1}\textrm{C}+_{n}^{n}\textrm{C}=_{n+1}^{n+1}\textrm{C}\).