exercício de Equação do segundo grau
29 abr 2014, 01:50
E ae galera,esse é o primeiro exercício de uma sequência que irei postando,espero que possam me ajudar, porque não aguento mais refazer essas questões,vou postar minha resolução caso venha a contribuir para vocês,desde já muito obrigado.
Questão(1)\(\frac{1}{x^2-10x-29}+\frac{1}{x^2-10x-45}+\frac{1}{x^2-10x-69}=0\) então,a soma dos algarismos da solução positiva desta equação é igual a:
Resposta.:4
Resolução.:
\(x^2-10x-29=y\)
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{y-16}+\frac{1}{y-40}=0\)
resolvendo,encontraremos.:
\(y=\frac{56\pm8\sqrt{19}}{3}\)
Substituindo Y em X encontraremos.:
\(3x^2-30x-143\pm8\sqrt{19}=0\)
Logo \(x=\frac{15\pm\sqrt{654\pm24\sqrt{19}}}{3}\)
Como ele especifica no enunciado que a solução é positiva x será.:
\(x=\frac{15+\sqrt{654\pm24\sqrt{19}}}{3}\)
Usando a calculadora científica o valor de X será aproximadamente 13,logo \(1+3=4\)
No entanto o final ficou ''Carteado'',gostaria de saber algo concreto para essa questão
Questão(1)\(\frac{1}{x^2-10x-29}+\frac{1}{x^2-10x-45}+\frac{1}{x^2-10x-69}=0\) então,a soma dos algarismos da solução positiva desta equação é igual a:
Resposta.:4
Resolução.:
\(x^2-10x-29=y\)
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{y-16}+\frac{1}{y-40}=0\)
resolvendo,encontraremos.:
\(y=\frac{56\pm8\sqrt{19}}{3}\)
Substituindo Y em X encontraremos.:
\(3x^2-30x-143\pm8\sqrt{19}=0\)
Logo \(x=\frac{15\pm\sqrt{654\pm24\sqrt{19}}}{3}\)
Como ele especifica no enunciado que a solução é positiva x será.:
\(x=\frac{15+\sqrt{654\pm24\sqrt{19}}}{3}\)
Usando a calculadora científica o valor de X será aproximadamente 13,logo \(1+3=4\)
No entanto o final ficou ''Carteado'',gostaria de saber algo concreto para essa questão
Re: exercício de Equação do segundo grau
01 mai 2014, 16:03
Olá, BrenoNaval!
Creio que a solução dessa questão seja assim mesmo.Vemos que esse tipo de solução não agrada muito, devido as varias operações que a envolve(adição,subtração,multiplicação,divisão,radical duplo ......).Creio também que nesse nível(nível fundamental ou médio) poucas são as questões que apresentam uma solução desse tipo .Sendo assim,acho que essa questão foi muito mal elaborada ou você pode ter cometido algum erro ao escrevê-la.Peço que dê uma olhada na questão de novo para vê se realmente não houve erro.
Creio que a solução dessa questão seja assim mesmo.Vemos que esse tipo de solução não agrada muito, devido as varias operações que a envolve(adição,subtração,multiplicação,divisão,radical duplo ......).Creio também que nesse nível(nível fundamental ou médio) poucas são as questões que apresentam uma solução desse tipo .Sendo assim,acho que essa questão foi muito mal elaborada ou você pode ter cometido algum erro ao escrevê-la.Peço que dê uma olhada na questão de novo para vê se realmente não houve erro.
Re: exercício de Equação do segundo grau
01 mai 2014, 20:07
Pensei em trabalhar neste exercício da seguinte forma .O que acham ?
Defina \(f(x) = \frac{1}{x^2- 10 x - 29} + \frac{1}{x^2-10x - 45} + \frac{1}{x^2-10x - 69} = \frac{1}{[x^2- 10 x - 69] + 40} + \frac{1}{[x^2- 10 x - 69] +24} + \frac{1}{[x^2-10x - 69] + 0 }\) .
Se a expressão entre colchetes for positiva, segue que todas parcelas serão positivas de modo que \(f(x) > 0\) . Desta forma, a solução da equação \(f(x) = 0\) pertence ao conjunto solução de \(x^2- 10 x - 69 = (x-5)^2 - 69 - 25 = (x-5)^2 - 94 < 0 \Rightarrow (x-5)^2 < 94 < 100 \Rightarrow |x-5|< 10\) . Como \(x > 0\) concluímos que \(x \in (0,15)\) .
Além disso , se \(x^2- 10 x - 69 < 0\) , então
\(\frac{1}{[x^2- 10 x - 69] + 40} + \frac{1}{[x^2- 10 x - 69] +24} > 0\) .
Deixe \(x^2- 10 x - 69 = u = u(x)\) de modo que
\(\frac{1}{u + 40} + \frac{1}{u +24} = \frac{2(u+32)}{(u+40)(u+24)} > 0\) .
Fazendo o estudo de sinal para o segundo membro , concluímos que \(0 > u > -40 .\equiv. -40 < u\) e \(u < 0\) .
Se \(u > -40\) então \(x^2-10x -69 > -40 \Rightarrow x^2 -10x +25 = (x-5)^2 > 54 > 49 =7^2\) .Como \(x > 0\) então \(x > 12\) .
Por outro lado , vimos que se \(u < 0 (x > 0)\) então \(15 > x > 0\) . Logo , se \(0 > u > -40 \Rightarrow x \in (12,15)\) .
Agora investigue \(f(x)\) em cada intervalo \(I_1 = (12,13] , I_2 = (13,14) , I_3= [14,15)\) .
Defina \(f(x) = \frac{1}{x^2- 10 x - 29} + \frac{1}{x^2-10x - 45} + \frac{1}{x^2-10x - 69} = \frac{1}{[x^2- 10 x - 69] + 40} + \frac{1}{[x^2- 10 x - 69] +24} + \frac{1}{[x^2-10x - 69] + 0 }\) .
Se a expressão entre colchetes for positiva, segue que todas parcelas serão positivas de modo que \(f(x) > 0\) . Desta forma, a solução da equação \(f(x) = 0\) pertence ao conjunto solução de \(x^2- 10 x - 69 = (x-5)^2 - 69 - 25 = (x-5)^2 - 94 < 0 \Rightarrow (x-5)^2 < 94 < 100 \Rightarrow |x-5|< 10\) . Como \(x > 0\) concluímos que \(x \in (0,15)\) .
Além disso , se \(x^2- 10 x - 69 < 0\) , então
\(\frac{1}{[x^2- 10 x - 69] + 40} + \frac{1}{[x^2- 10 x - 69] +24} > 0\) .
Deixe \(x^2- 10 x - 69 = u = u(x)\) de modo que
\(\frac{1}{u + 40} + \frac{1}{u +24} = \frac{2(u+32)}{(u+40)(u+24)} > 0\) .
Fazendo o estudo de sinal para o segundo membro , concluímos que \(0 > u > -40 .\equiv. -40 < u\) e \(u < 0\) .
Se \(u > -40\) então \(x^2-10x -69 > -40 \Rightarrow x^2 -10x +25 = (x-5)^2 > 54 > 49 =7^2\) .Como \(x > 0\) então \(x > 12\) .
Por outro lado , vimos que se \(u < 0 (x > 0)\) então \(15 > x > 0\) . Logo , se \(0 > u > -40 \Rightarrow x \in (12,15)\) .
Agora investigue \(f(x)\) em cada intervalo \(I_1 = (12,13] , I_2 = (13,14) , I_3= [14,15)\) .