Princípio de Indução Matemática para demonstração

[Jow]

Bom dia
Alguém sabe responder o exercício abaixo?

Pelo princípio de indução matemática demonstre que as igualdades abaixo são verdadeiras:
a) 3+11+19+27...+(8n-5) = n(4n-1), A(paratodo)n >= 1.

b)4 elevado a n + 2 é dividível por 3, A(paratodo)n >= 0.

[Sobolev]

Uma pergunta por post... vejamos a primeira: Consideremos a propriedade

\(P(n): 3 + 11 + \cdots +(8n-5) = n(4n-1)\)

Para demonstrar esta propriedade usando o principio de indução temos que mostrar que:

1. P(1) é verdadeira. Isto é imediato pois \(3 = 1\times(4\times 1 -1)\)é uma proposição verdadeira.

2. \(P(n) \Rightarrow P(n+1)\), isto é, se a propriedade for verificada para n tb é verificada para (n+1). Vamos então supor que P(n) é verdadeira a analisar o que se passa com P(n+1).

\(3 + 11 + \cdots (8n-5) + (8n+3) = (3+11+\cdots + (8n-5)) + (8n+3) = n(4n-1) +(8n +3) = 4n^2+7n+3=4 (n+1)(n+3/4) = (n+1)(4n+3)\)

o que mostra que P(n+1) é verdadeira.

[Jow]

Uma pergunta por post... vejamos a primeira: Consideremos a propriedade

\(P(n): 3 + 11 + \cdots +(8n-5) = n(4n-1)\)

Para demonstrar esta propriedade usando o principio de indução temos que mostrar que:

1. P(1) é verdadeira. Isto é imediato pois \(3 = 1\times(4\times 1 -1)\)é uma proposição verdadeira.

2. \(P(n) \Rightarrow P(n+1)\), isto é, se a propriedade for verificada para n tb é verificada para (n+1). Vamos então supor que P(n) é verdadeira a analisar o que se passa com P(n+1).

\(3 + 11 + \cdots (8n-5) + (8n+3) = (3+11+\cdots + (8n-5)) + (8n+3) = n(4n-1) +(8n +3) = 4n^2+7n+3=4 (n+1)(n+3/4) = (n+1)(4n+3)\)

o que mostra que P(n+1) é verdadeira.

não entendi de onde sai o "(8n+3)" ?

[Sobolev]

(8n+3) é a próxima parcela na sequência. Queremos ver que s eo resultado é válido para n parcelas, tb é válido para n+1 parcelas.

8(n+1)-5 = 8n+3