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| Prova por indução sequencia recursiva https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=6111 |
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| Autor: | Jow [ 22 mai 2014, 14:26 ] |
| Título da Pergunta: | Prova por indução sequencia recursiva |
Bom dia Como fazer? Considerando a sequência de números naturais definida recursivamente por: \(F_0 = 2;\) \(F_n = 4 F_{n-1} -3\) para \(n\geq 1\) como provar por indução que \(F_n\)= (4^n)+1 ∀n≥0 ? |
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| Autor: | Rilke [ 22 mai 2014, 20:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prova por indução sequencia recursiva [resolvida] |
Devemos, de imediato, verificar se a fórmula vale para \(F_0\) \(F_0=(4^0 + 1)=2\) e \(F_0=2\) por definição O próximo passo é assumir que a fórmula valha para \(F_n\) e mostrar que em decorrência desta assunção valerá para \(F_{n+1}\). \(F_n=4^{n}+1\) Multiplicando dos dois lados por \(4\) temos \(4F_n=4((4^n)+1)\) \(4F_n=4^{n+1}+4\) Subtraindo 3 dos dois lados temos \(4F_n-3=4^{n+1}+4-3\) \(4F_n-3=4^{n+1}+1\) Veja só, pela nossa definição da Função temos \(F_n=4F_{n-1}-3\) portanto \(F_{n+1}=4F_{n}-3\) agora é só substituir \(\underbrace{4F_n-3}_{F_{n+1}}=4^{n+1}+1\) Portanto \(F_{n+1}=4^{n+1}+1\). Quod erat demonstrandum. Atenciosamente, Rilke |
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