f(m.x)=m.f(x)+1 sendo m uma constante real n nula.

[Mppr10]

Seja f uma função com domínio nos produtos reais que tem para todo produto x real, a propriedade f(m.x)=m.f(x)+1, sendo m uma constante real não nula. Se f(0)=-1/2, obtenha
o valor de m
os valores de f(9) e f(81), supondo que f(3)=2

[Fraol]

Olá,

Se f(0)=-1/2, obtenha
o valor de m
os valores de f(9) e f(81), supondo que f(3)=2

Usando a definição de f e os dados:

\(f(0) = f(m0)=mf(0)+1 = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow m = 3\)

\(f(9)=3f(3)+1\), basta substituir f(3) para obter f(9).

\(f(81)=3f(27)+1 = 3(3f(9)+1)+1 = 9f(9)+4\), aqui é só usar o resultado anterior.

[Mppr10]

Obrigado!

[Mppr10]

Continuo com a dúvida nesta questão, não sabendo resolvê-la

[Sobolev]

Veja, se para todo o x se tem

\(f(m x)=m f(x)+1\)

Então, substituindo x=0 (um dos valores de x para os quais a relação é válida), terá (como mencionou o amigo fraol)

\(f(m \times 0) = m f(0) + 1 \Leftrightarrow
-\frac 12 = -\frac 12 m + 1 \Leftrightarrow
m = 3\)

Assim, sabemos que \(f(3x) = 3 f(x)+1\). Usando x =3 concluímos que

\(f(9)= f(3 \times 3) = 3 \times f(3) +1 =3 \times 2 +\mathrm{1} = 7\)

consegue agora calcular f(81) ?