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Provar congruencia de aritmetica modular https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=6233	Página 1 de 1

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Autor:	Mattioli [ 06 jun 2014, 00:07 ]
Título da Pergunta:	Provar congruencia de aritmetica modular
Olá, pessoal. Estou com uma dúvida em exercício de teoria dos números (aritmética modular, pra ser mais preciso) e gostaria da ajuda de vocês, se possível Bom, o problema diz o seguinte: Mostre que \(5n^3 + 7n^5 \equiv 0 (mod 12)\) para todo n. Acho que a resolução está relacionada ao teorema de Wilson ou o de Fermat, mas não estou conseguindo relacioná-los para encontra-la. Obrigado.

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Autor:	João P. Ferreira [ 10 jun 2014, 19:12 ]
Título da Pergunta:	Re: Provar congruencia de aritmetica modular
não dará para resolver por indução matemática?

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Autor:	Rui Carpentier [ 10 jun 2014, 20:54 ]
Título da Pergunta:	Re: Provar congruencia de aritmetica modular
O (pequeno) teorema de Fermat diz que, para \(p\) primo, se \(n\not\equiv 0 mod p\) então \(n^{p-1}\equiv 1 mod p\). O que é equivalente a \(n^p\equiv n mod p\) para qualquer n. Logo \(n^3\equiv n mod 3\) e \(n^5=n^3\times n^2\equiv n\times n^2=n^3\equiv n mod 3\) e como tal \(5n^3+7n^5\equiv 5n+7n=12n\equiv 0 mod 3\) (ou seja \(5n^3+7n^5\) é múltiplo de 3) para qualquer n. O teorema de Euler, que generaliza o teorema de Fermat, diz que se n é coprimo com k então \(n^{\varphi(k)}\equiv 1 mod k\) onde \(\varphi(k)\) é nº de elementos em {1,2,...,k-1} coprimos com k. Logo se n for ímpar temos que \(n^2\equiv 1 mod 4\) e portanto \(5n^3+7n^5\equiv 5n+7n=12n\equiv 0 mod 4\) (ou seja \(5n^3+7n^5\) é múltiplo de 4). Se n for par então \(n^2\equiv 0 mod 4\) e portanto também temos \(5n^3+7n^5=n^2(5n+7n^3)\equiv 0 mod 4\). Concluindo, seja qual for o n temos que \(5n^3+7n^5\) é múltiplo de 3 e 4 e portanto múltiplo de 12.

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