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| (OBM)Exercício de Somatório https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=6295 |
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| Autor: | BrenoNaval [ 11 jun 2014, 15:30 ] |
| Título da Pergunta: | (OBM)Exercício de Somatório |
Escrevemos a soma dos recíprocos dos números de 1 a 2013 como a fração irredutível \(\frac{A}{B}\),ou seja.: \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2013}=\frac{A}{B}\) , \(mdc(A,B)=1\) Qual é o maior valor inteiro de N tal que B é múltiplo \(3^n\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 13 jun 2014, 19:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (OBM)Exercício de Somatório |
Antes de mais comece por observar que se duas frações irredutíveis a/b e c/d têm numeradores múltiplos de 3 então a sua soma na forma irredutível também tem numerador múltiplo de 3. Seja N o maior valor inteiro tal que B é múltiplo de \(3^N\). Ou seja, N é o valor inteiro tal que \(\frac{A}{B}=\frac{C}{D3^N}\) onde nem C nem D são múltiplos de 3. Então \(3^N\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2013}\right)=\frac{C}{D}\). Como \(3^6=729\) é a maior potência de 3 menor que 2013, temos que \(N\leq 6\) pois caso contrário qualquer fração do tipo \(\frac{3^N}{n}\) (com \(1\leq n\leq 2013\)) teria, na sua forma irredutível numerador múltiplo de 3 e portanto não teríamos \(3^N\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2013}\right)=\frac{C}{D}\) com m.d.c.(C,3)=m.d.c.(D,3)=1. Também não podemos ter N=6 pois os únicos termos na soma que têm denominadores múltiplos de \(3^6\) são \(\frac{1}{3^6}=\frac{1}{720}\) e \(\frac{1}{2\times 3^6}=\frac{1}{1440}\) e a sua soma dá \(\frac{2+1}{2\times 3^6}=\frac{1}{2\times 3^5}\) e então a soma \(3^6+\frac{3^6}{2}+\frac{3^6}{3}+\cdots \frac{3^6}{3^6} +\cdots + \frac{3^6}{2\times 3^6}+\cdots +\frac{3^6}{2013}\) terá numerador irredutível múltiplo de 3. Vejamos finalmente que N=5. Os termos da soma com denominadores múltiplos de \(3^5\) são \(\frac{1}{n_1}=\frac{1}{3^5}\), \(\frac{1}{n_2}=\frac{1}{2\times 3^5}\), \(\frac{1}{n_3}=\frac{1}{3\times 3^5}\) ,\(\frac{1}{n_4}=\frac{1}{4\times 3^5}\), \(\frac{1}{n_5}=\frac{1}{5\times 3^5}\), \(\frac{1}{n_6}=\frac{1}{6\times 3^5}\), \(\frac{1}{n_7}=\frac{1}{7\times 3^5}\) e \(\frac{1}{n_8}=\frac{1}{8\times 3^5}\). Então \(3^5+\frac{3^5}{2}+\frac{3^5}{3}+\cdots +\frac{3^5}{2013}=\sum_{n\in\{1,\dots ,2013\}\setminus\{n_1,\dots ,n_8\}}\frac{3^5}{n} \quad +\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{8}\right)=\frac{3K}{L}+\frac{3\times 253+2}{8\times 35}\) onde m.d.c.(3K,L)=1. Esta soma tem numerador irredutível que não é múltiplo de 3. |
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