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| (OBM)Exercício de Geometria Plana https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=6296 |
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| Autor: | BrenoNaval [ 11 jun 2014, 15:33 ] |
| Título da Pergunta: | (OBM)Exercício de Geometria Plana |
Pow,galera resolvi esse questão aqui mais gastei 3 folhas,espero que alguém resolva ela de um jeito mais genial. Pode-se provar que num triângulo acutângulo ABC,o triângulo DEF com D,E e F sobre os lados BC,CA e AB respectivamente com perímetro mínimo é obtido quando D,E e F são as interseções das alturas com os lados .Tal triângulo é o triângulo órtico de ABC.Se AB=13,BC=14 e CA=15,o perímetro de seu triângulo órtico pode ser escrito na forma a/b,com a e b inteiros primos entre si .Determine o valor de a+b |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 16 jun 2014, 14:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (OBM)Ex de Geometria Plana [resolvida] |
Não sei se a minha solução fica por menos de três páginas, mas eu faria assim: Se D, E e F são a ortobases de A, B e C respetivamente, então pode-se mostrar sem grande dificuldade que DE é uma corda da circunferência com diâmetro AB, EF é uma corda da circunferência com diâmetro BC e FD é uma corda da circunferência com diâmetro CA. Daqui resulta as igualdades entre os ângulos: \(D\hat{A}E=D\hat{B}E\) , \(E\hat{B}F=E\hat{C}F\) e \(F\hat{C}D=F\hat{A}D\) (sejam estes três ângulos \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) respetivamente). Temos então que \(DE=13\mbox{sen}(\alpha)\), \(EF=14\mbox{sen}(\beta)\) e \(FD=15\mbox{sen}(\gamma)\) e também o seguinte sistema de equações lineares: \(14\mbox{sen}(\alpha)+13\mbox{sen}(\beta)=15\), \(15\mbox{sen}(\beta)+14\mbox{sen}(\gamma)=13\) e \(13\mbox{sen}(\gamma)+15\mbox{sen}(\alpha)=14\). Agora tudo o que há fazer é resolver o sistema para determinar \(\mbox{sen}(\alpha)\), \(\mbox{sen}(\beta)\) e \(\mbox{sen}(\gamma)\) e com isto ficamos a saber os valores de DE, EF e FD (e como tal o perímetro do triânguo órtico). Spoiler: |
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