Não sei se a minha solução fica por menos de três páginas, mas eu faria assim:
Se D, E e F são a ortobases de A, B e C respetivamente, então pode-se mostrar sem grande dificuldade que DE é uma corda da circunferência com diâmetro AB, EF é uma corda da circunferência com diâmetro BC e FD é uma corda da circunferência com diâmetro CA. Daqui resulta as igualdades entre os ângulos: \(D\hat{A}E=D\hat{B}E\) , \(E\hat{B}F=E\hat{C}F\) e \(F\hat{C}D=F\hat{A}D\) (sejam estes três ângulos \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) respetivamente). Temos então que \(DE=13\mbox{sen}(\alpha)\), \(EF=14\mbox{sen}(\beta)\) e \(FD=15\mbox{sen}(\gamma)\) e também o seguinte sistema de equações lineares:
\(14\mbox{sen}(\alpha)+13\mbox{sen}(\beta)=15\), \(15\mbox{sen}(\beta)+14\mbox{sen}(\gamma)=13\) e \(13\mbox{sen}(\gamma)+15\mbox{sen}(\alpha)=14\).
Agora tudo o que há fazer é resolver o sistema para determinar \(\mbox{sen}(\alpha)\), \(\mbox{sen}(\beta)\) e \(\mbox{sen}(\gamma)\) e com isto ficamos a saber os valores de DE, EF e FD (e como tal o perímetro do triânguo órtico).