Bom dia,

Tal como posto, essa soma se igualaria a \(\frac{(n+1)(4+3n)}{2}\) e não como está no enunciado.

Oi, vamos lá, assumindo que a expressão a provar por indução é:

\(2 + 5 + 8 +...+...+(2+3n)=\frac{(n+1)(4+3n)}{2}\)

e que os Naturais em questão inicial com o 0.

A primeira coisa a fazer é determinar a base e provar que a expressão seja válida para a base:

Como os nossos naturais começam pelo 0 vamos ver se a base é o 0, se podemor provar para ele que a expressão é válida:

\({n = 0}, {P(0)}: {2+3n} = {2 + 3 \cdot 0} = {2} = \frac{(0+1)(4+3 \cdot 0 )}{2} = \frac{(n+1)(4+3n)}{2}\) Ok. Então P(0) é válida.

Vamos agora provar que a expressão é válida para n = k+1, partindo da hipótese de que vale para:

\(n=k, P(k): 2 + 5 + 8 +...+...+(2+3k)=\frac{(k+1)(4+3k)}{2}\)

Seja então:

\(n=k+1, P(k+1): 2 + 5 + 8 +...+...+(2+3k) + (2+3(k+1)= \frac{(k+1)(4+3k)}{2} + 5 + 3k = \frac{3k^2+13k+14}{2}\)

\(= \frac{(k+2)(3(k+1) + 4}{2}\)

Então P(k+1) é válida e portanto, pelo princípio da indução a expressão \(2 + 5 + 8 +...+...+(2+3n)=\frac{(n+1)(4+3n)}{2}\) é sempre válida.

Esse é, em linhas gerais o método para provar por indução.

Sendo mais direto quanto à sua pergunta, nesse exercício temos que achar o primeiro elemento ( a base da indução ) para o qual a expressão é válida. Que no exercício foi o natural 0.