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Cara Luana,
Reconheço que a resolução que vou apresentar parece um bocado caída do céu mas é-me difícil reconstruir o caminho que me levou a ela.
Considere a seguinte* soma de cinco cubos inteiros: \((-n)^3+(-n)^3+(n+1)^3+(n-1)^2+x^3\). Esta soma dá \(6n+x^3\).
Assim sendo, todo o inteiro que possa ser escrito da forma \(6n+x^3\) pode ser escrito como uma soma de 5 inteiros elevados ao cubo, onde 2 deles se repetem. Mas uma vez que todo o inteiro é congruente com um cubo módulo seis, temos que todo o inteiro pode ser escrito desta forma. Na verdade temos \(x=6n+x^3\) onde \(n=\frac{x(1-x)(1+x)}{6}\).
Portanto,
\(x=\left(-\frac{x(1-x)(1+x)}{6}\right)^3+\left(-\frac{x(1-x)(1+x)}{6}\right)^3+\left(\frac{x(1-x)(1+x)}{6}+1\right)^3+\left(\frac{x(1-x)(1+x)}{6}-1\right)^3+x^3\)
* a minha estratégia para chegar a esta fórmula foi encontrar uma soma de cubos da forma \((an+b)^3+(an+b)^3+(cn+d)^3+(en+f)^3+(gn+h)^3\) com \(a,b,c,d,e,f,g,h\) constantes inteiras que desse um polinómio não-nulo em n com o menor grau possível.
PS- Não é claro na questão se os outros três cubos têm que ser distintos dos dois cubos que se repetem ou não. Se sim tem que se arranjar formas alternativas para x=0, 2, 3, -2 e -3.
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