Provar sobre os racionais e irracionais.

[Jean Gengnagel]

Mostre que se \(x \in \mathbb{Q}\) e \(y \in Irracionais\) então \(x + y \in Irracionais\).

[Walter R]

Suponha, por absurdo, que \(x+y \in \mathbb{Q}\). Então \(x+y\) é um número da forma \(\frac{v}{w}\), com \(v,w \in \mathbb{Z}\).
Tome \(x=\frac{a}{b}\) com \(a,b \in \mathbb{Z}\) e \(y\) irracional.
Então \(x+y=\frac{a}{b}+y=\frac{a+by}{b}=\frac{v}{w}\).
Teríamos entao \(a+by=v\). Ou seja, \(by=v-a\) é um número inteiro. Logo \(y\) deve ser inteiro, o que contradiz a hipótese inicial de que \(y\) é irracional. Portanto, \(x+y\) deve ser irracional.