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| Provar sobre os racionais e irracionais. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=6539 |
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| Autor: | Jean Gengnagel [ 18 jul 2014, 17:15 ] |
| Título da Pergunta: | Provar sobre os racionais e irracionais. |
Mostre que se \(x \in \mathbb{Q}\) e \(y \in Irracionais\) então \(x + y \in Irracionais\). |
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| Autor: | Walter R [ 18 jul 2014, 17:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar sobre os racionais e irracionais. [resolvida] |
Suponha, por absurdo, que \(x+y \in \mathbb{Q}\). Então \(x+y\) é um número da forma \(\frac{v}{w}\), com \(v,w \in \mathbb{Z}\). Tome \(x=\frac{a}{b}\) com \(a,b \in \mathbb{Z}\) e \(y\) irracional. Então \(x+y=\frac{a}{b}+y=\frac{a+by}{b}=\frac{v}{w}\). Teríamos entao \(a+by=v\). Ou seja, \(by=v-a\) é um número inteiro. Logo \(y\) deve ser inteiro, o que contradiz a hipótese inicial de que \(y\) é irracional. Portanto, \(x+y\) deve ser irracional. |
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