19 jul 2014, 03:34
Se \(a\) e \(b\) são números reais tais que o produto \(ab\) é um número irracional, então ou \(a\) ou \(b\) deve ser um número irracional.
19 jul 2014, 13:56
Bom dia,
A expressão lógica correspondente à afirmação é:
\((a \in R) \wedge (b \in R) \wedge ab \in \mathbb{I} \rightarrow (a \in \mathbb{I}) \vee (b \in \mathbb{I})\)
A contrapositiva é negar o consequente e concluir a negação do antecedente, é melhor olhar para a expressão da contrapositiva que é:
\(\neg [ (a \in \mathbb{I}) \vee (b \in \mathbb{I})] \rightarrow \neg[(a \in R) \wedge (b \in R) \wedge (ab \in \mathbb{I})]\)
Bom, agora é desenvolver ambos os membros usando DeMorgan:
\(\neg (a \in \mathbb{I}) \wedge \neg (b \in \mathbb{I})] \rightarrow \neg(a \in R) \vee \neg (b \in R) \vee \neg (ab \in \mathbb{I})]\)
Como \(a, b \in R\), essa expressão pode ser simplificada assim:
\((a \in \mathbb{Q}) \wedge (b \in \mathbb{Q})] \rightarrow (ab \in \mathbb{Q})]\)
Essa última expressão é correspondente à propriedade de fechamento do produto no conjunto dos racionais. Em outras palavras mostramos que se nem \(a\) nem \(b\) é irracional então o produto também não é irracional.