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| Provar proposição pelo método contrapositivo https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=6542 |
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| Autor: | bcunha [ 19 jul 2014, 03:34 ] |
| Título da Pergunta: | Provar proposição pelo método contrapositivo |
Se \(a\) e \(b\) são números reais tais que o produto \(ab\) é um número irracional, então ou \(a\) ou \(b\) deve ser um número irracional. |
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| Autor: | Fraol [ 19 jul 2014, 13:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar proposição pelo método contrapositivo [resolvida] |
Bom dia, A expressão lógica correspondente à afirmação é: \((a \in R) \wedge (b \in R) \wedge ab \in \mathbb{I} \rightarrow (a \in \mathbb{I}) \vee (b \in \mathbb{I})\) A contrapositiva é negar o consequente e concluir a negação do antecedente, é melhor olhar para a expressão da contrapositiva que é: \(\neg [ (a \in \mathbb{I}) \vee (b \in \mathbb{I})] \rightarrow \neg[(a \in R) \wedge (b \in R) \wedge (ab \in \mathbb{I})]\) Bom, agora é desenvolver ambos os membros usando DeMorgan: \(\neg (a \in \mathbb{I}) \wedge \neg (b \in \mathbb{I})] \rightarrow \neg(a \in R) \vee \neg (b \in R) \vee \neg (ab \in \mathbb{I})]\) Como \(a, b \in R\), essa expressão pode ser simplificada assim: \((a \in \mathbb{Q}) \wedge (b \in \mathbb{Q})] \rightarrow (ab \in \mathbb{Q})]\) Essa última expressão é correspondente à propriedade de fechamento do produto no conjunto dos racionais. Em outras palavras mostramos que se nem \(a\) nem \(b\) é irracional então o produto também não é irracional. |
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