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| Provar que a Desigualdade Triangular é válida https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=6575 |
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| Autor: | jvitor1402 [ 24 jul 2014, 22:12 ] |
| Título da Pergunta: | Provar que a Desigualdade Triangular é válida |
Pessoal sou novo no fórum, então primeiramente me desculpem qualquer erro na postagem, se existir. Gostaria de ajuda com esse problema sobre desigualdade. * Dados números reais não nulos x1, x2, xn , prove a desigualdade triangular:\(|x1 + x2 +...+ xn| \leq |x1| + |x2| +...+ |xn|\), ocorrendo a igualdade só se x1, x2, . . . , xn tiverem um mesmo sinal Não consegui pensar numa maneira para provar que vale para todos n, apenas para n=1, que é claro, e para n=2, um dos números deve ser negativo. Como provar para todos n? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 25 jul 2014, 14:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar que a Desigualdade Triangular é válida [resolvida] |
jvitor1402 Escreveu: Não consegui pensar numa maneira para provar que vale para todos n, apenas para n=1, que é claro, e para n=2, um dos números deve ser negativo. Não necessariamente, note que se tivermos uma igualdade também temos a desigualdade não estrita (dito de outra forma, \(a=b \Rightarrow a\leq b\)) Citar: Como provar para todos n? Faça por indução: se, por hipótese de indução, \(|x_1 + x_2 +...+ x_n| \leq |x_1| + |x_2| +...+ |x_n|\) então também temos a tese de indução: \(|x_1 + x_2 +...+ x_{n+1}| \leq |x_1| + |x_2| +...+ |x_{n+1}|\). Pois \(|x_1 + x_2 +...+ x_{n+1}| =|(x_1 + x_2 +...+x_n)+ x_{n+1}| \leq |(x_1 + x_2 +...+x_n)|+ |x_{n+1}| \leq (|x_1| + |x_2| +...+ |x_n|)+|x_{n+1}| = |x_1| + |x_2| +...+ |x_{n+1}|\) (na primeira desigualdade usamos a desigualdade para n=2 e na segunda desigualdade usamos a hipótese de indução). |
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| Autor: | jvitor1402 [ 27 jul 2014, 15:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar que a Desigualdade Triangular é válida |
Obrigado!!! |
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