Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/
sobre topologia do espaço euclidiano https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=6630	Página 1 de 1

---

Autor:	Walter R [ 01 ago 2014, 19:11 ]
Título da Pergunta:	sobre topologia do espaço euclidiano
Bom dia a todos. Gostaria de uma opinião para resolver o seguinte problema: "Para quaisquer \(X,Y\subset \mathbb{R}^n\) prove que \(\overline{X\cap Y}\subset \overline{X}\cap \overline{Y}\) ( onde o símbolo \(\overline{X}\) denota o fecho de \(X\)). Dê um exemplo de que não vale \(\overline{X\cap Y}=\overline{X}\cap \overline{Y}\). A primeira parte do problema sai de imediato, pois \(X\subset \overline{X};Y\subset \overline{Y}\Rightarrow X\cap Y\subset \overline{X}\cap \overline{Y}\). Como \(\overline{X}\cap \overline{Y}\) é fechado (intersecção de conjuntos fechados), segue que \(\overline{X\cap Y}\subset \overline{X}\cap \overline{Y}\). Mas e o contra-exempo? Será que \(A=(a,b)\), \(B=(c,d)\) é um contra-exemplo? Evidentemente, \(\overline{A\cap B}=\varnothing\). Mas o que é \(\overline{A}\)?

---

Autor:	Sobolev [ 02 ago 2014, 15:05 ]
Título da Pergunta:	Re: sobre topologia do espaço euclidiano
Penso que tomando \(X = [0,1[, \qquad Y=]1,2]\) terá o seu contra-exemplo já que \(\bar{X\cap Y} = \bar{\emptyset} = \emptyset\) \(\bar{X}\cap \bar{Y} = [0,1] \cap [1,2] = \{ 1\}\)

---

Autor:	Walter R [ 06 ago 2014, 02:46 ]
Título da Pergunta:	Re: sobre topologia do espaço euclidiano
Olá, Sobolev. Mas qual seria um contra-exemplo no\(\mathbb{R}^2\)?

---

Autor:	Sobolev [ 06 ago 2014, 08:12 ]
Título da Pergunta:	Re: sobre topologia do espaço euclidiano  [resolvida]
\(X = \{(x,y)\in\mathb{R}^2: x^2+y^1<1\}, \qquad Y = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 1 < x^2+y^2 \leq 2\) \(\bar{X\cap Y} = \bar{\emptyset} = \emptyset\) \(\bar{X}\cap \bar{Y} = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=\mathrm{1}\}\)

---

Página 1 de 1	Os Horários são TMG [ DST ]
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/