dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

[Daianne]

Boa tarde!!

Tenho dificuldade com conjuntos e essas provas..

dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

A C X e B C X (C = esta contido em)
se A C Y e B C Y, entao X C Y.

Prove que X = A U B.

Obrigada!!

[Walter R]

Evidentemente, \(A\subset X;B\subset X\Rightarrow A\cup B\subset X\). Se não fosse \(X\subset A\cup B\),poderíamos ter \(A\subset Y;B\subset Y\) mas \(X\)não contido em \(Y\). Por exemplo: se \(A=\left \{ 1 \right \};B=\left \{ 2 \right \};X=\left \{ 4 \right \}\), \(Y=\left \{ 1,2,3 \right \}\). Entao\(X\) não está contido em \(A\cup B;A\subset Y\) e \(B\subset Y\), mas \(X\) não está contido em \(Y\). Concluimos entao que deve ser também \(X\subset A\cup B\). Logo, \(X=A\cup B\).