| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Algebra Moderna ou Abstrata - GRUPO CICLICO https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=6664 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | EANDRIOLI [ 07 ago 2014, 02:02 ] |
| Título da Pergunta: | Algebra Moderna ou Abstrata - GRUPO CICLICO |
Amigos, Preciso resolver o seguinte: a). Mostre que todo grupo cíclico infinito tem dois, e somente dois, geradores. b). Se a,b e ab do grupo muiltiplicativo G têm ordem 2, então ab=ba. Prove. Agradeço se me ajudarem. ERASMO |
|
| Autor: | Sobolev [ 07 ago 2014, 12:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Algebra Moderna ou Abstrata - GRUPO CICLICO |
Uma questão por tópico... Vejamos a) Se G é um grupo ciclico infinito então \(G=<a>\) (e todas as potências de a são distintas). Suponhamos então que existe um outro gerador \(b \in G\), que necessariamente se pode escrever como uma potência de \(a\), isto é, \(b = a^n\). Se \(b\) for gerador de G então\(a\) também pode ser escrito como potência de \(b\): \(a = b^m = (a^n)^m = a^{nm}\) pelo que concluímos que \(a = a^{mn} \Leftrightarrow a^{mn-1} = Id\). Como na condições propostas \(Id = a^0\), concluímos que \(mn=1\), pelo que m=n=1 ou m=n=-1. Em resumo, provámos que se b for gerador de G então \(b=a\) ou \(b=a^{-1}\), o que mostra de G tem exactamente 2 geradores. |
|
| Autor: | Sobolev [ 07 ago 2014, 12:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Algebra Moderna ou Abstrata - GRUPO CICLICO |
Relativamente a b) apenas tem que recordar a definição... a ordem de um certo elemento x de um grupo cíclico é o menor inteiro positivo tal que \(x^n=1\). Assim, sabemos que \(a^2=1,\quad b^2 = 1, \quad (ab)^2=1\). Consideremos a última igualdade \((ab)^2 = 1 \Leftrightarrow abab = 1 \Rightarrow a(abab) =a \Rightarrow a(abab)b = ab \Rightarrow a^2 ba b^2 = ab \Rightarrow 1\cdot ba \cdot 1 = ab \Rightarrow ba = ab \\) |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|