Dúvida referente a dedução natural de conjuntos

[emanoelvianna]

Olá tudo bem.

Estou estudando lógica e estou grandes dificuldades para entender os seus princípios, bem devo provar algumas teorias envolvendo conjuntos da matemática utilizando o método de dedução natural, são eles:

a) A ∪ ∅ = A
Eu entendo que é uma união com um conjunto vazio, então A união com vazio será o próprio A, mas eu não sei como posso apresentar isso por meio de dedução natural.

O mesmo com a letra b, eu entendo que é uma Intercessão com um conjunto vazio, mas também não sei como prova-la
b) A ∩ ∅ = ∅

Alguém poderia me ajudar a resolver?!
Caso pude-se me indicar algum livro ou site para tirar mais dúvidas que deveram aparecer sobre dedução de conjuntos eu agradeceria.
Obrigado.

[Walter R]

Para provar a igualdade,precisamos provar separadamente que \(A\cup \emptyset\subset A\) e que \(A\subset A\cup \emptyset\). Para provar a primeira inclusão, suponha \(x\in A\cup \emptyset\). Então \(x \in A\) ou \(x \in \emptyset\). Como \(x \in \emptyset\) é falso, devemos necessariamente ter \(x \in A\). Isto prova que \(x \in A\cup \emptyset\Rightarrow x \in A\), ou seja \(A\cup \emptyset\subset A\).

Para provar a segunda, suponha que seja falso que \(x \in A\cup \emptyset\). Então \(x \notin A\)
e \(x \notin \emptyset\). Como \(x \notin \emptyset\) é verdadeiro, isto implica que \(x \notin A\). Isto equivale a provar que \(x\in A\Rightarrow x \in A\cup \emptyset\), ou seja \(A \subset A\cup \emptyset\). Se você entendeu, tente fazer a segunda.

[emanoelvianna]

Olá tudo bem,
Eu consegui entender sim sua teoria, mas na pratica eu pretendo provar os conjuntos por meio de dedução natural, esse método é conhecido como "rules of nature deduction" e esses conjuntos são as leis básicas, ou seja estou tentando prova-las, mas como estou aprendendo logica ainda e com muita dificuldade.

Acabei por estar tentando solucionar seguindo sua teoria mas estou empacado não sei se essa seria a maneira correta, estava também tentando solucionar um outro exercício mas sem sucesso.

link da imagem de rascunhos de solução http://s8.postimg.org/rw55jpk39/image.png

Quem puder me indicar qual seria a forma correta agradeço.
att

[Walter R]

Se você observar bem, eu usei dedução natural. Para provar que \(A\cup \emptyset \subset A\), partimos da hipótese \(x \in A\cup \emptyset\Rightarrow x \in A ou x \in \emptyset\). Como \(x \in \emptyset\) é falso, aplico a regra do siologismo disjuntivo e concluo que \(x \in A\).

[emanoelvianna]

Olá obrigado pelo retorno, desculpas estou com muita dificuldade, vou tentar fazer a minha versão usando como base a sua e retorno.

obrigado.