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DÚVIDAS? Nós respondemos!

1) Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1, W2 subespaços de V. Mostre que W1 ∪ W2 é um subespaços de V se, e somente se W1 ⊂ W2 ou W2 ⊂ W1

Seja \(x=v_1+v_2\), com \(v_1 \in W_1;v_2 \in W_2\) e \(x \in W_1 \cup W_2\). Então \(x \in W_1\) ou \(x \in W_2\). Se \(x \in W_1\), então \(v_2=(x_1-v_1) \in W_1\) ( pois como \(W_1\) é subespaço, e diferença entre dois vetores que pertencem a \(W_1\) também pertence a \(W_1\). Neste caso, temos \(W_2\subset W_1\).

Agora, se \(x \in W_2\), então \(v_1=(x-v_2) \in W_2\) (pelos mesmos motivos), e então \(W_1\subset W_2\).

Isto prova que \(W_1\cup W_2\) \(\Rightarrow W_1\subset W_2\) ou \(W_2\subset W_1\).

A implicação contrária deixo como exercício. Qualquer dúvida pergunte . Abraço!