07 nov 2014, 01:38
Olá, amigos, gostaria que dessem uma opinião sobre este exercício que acabo de (tentar) resolver.
"Calcule \([L:\mathbb{Q}]\), sabendo que \(L=Gal(x^6-2,\mathbb{Q})\)".
Solução:
\(Gal(x^6-2,\mathbb{Q})=\mathbb{Q}[\alpha,u]\),onde \(\alpha=\sqrt[6]{2}\) e \(u=\cos\frac{2\pi}{6}+i \left(sen \frac{2\pi}{6} \left)=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\). Como \(x^6-2\) é um polinômio irredutível sobre \(\mathbb{Q}\) tendo \(\alpha\) como raiz,segue que \([\mathbb{Q}[\alpha]:\mathbb{Q}]=6\).
Por outro lado, \(x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)\). O polinômio \(x^2-x+1\) é irredutível sobre \(\mathbb{Q}\) e tem \(u\) como raiz, logo \([\mathbb{Q}[u]:\mathbb{Q}]=2\).
Como \(mdc\left \{ 2,6 \right \}\neq 1\) não posso concluir imediatamente que \([\mathbb{Q}[\alpha,u]:\mathbb{Q}]=2.6=12\). Porém, \(x^2-x+1 \in \mathbb{Q}[x]\subset \mathbb{Q}[\alpha][x]\). Logo, se \(p_{u,\mathbb{Q}[\alpha]}(x)\) é o polinômio minimal de \(u\) sobre \(\mathbb{Q}[\alpha]\), então este polinômio deve dividir \(x^2-x+1\), o que significa que o grau do polinômio minimal é menor ou igual a 2. Logo, \([\mathbb{Q}[\alpha,u]:\mathbb{Q}[\alpha]]\le 2\).
Suponha que \([\mathbb{Q}[\alpha,u]:\mathbb{Q}[\alpha]]=1\). Neste caso, \(\mathbb{Q}[\alpha,u]=\mathbb{Q}[\alpha]\),o que significa que \(u \in \mathbb{Q}[\alpha]\),o que é um absurdo. Logo, deve ser \([\mathbb{Q}[\alpha,u]:\mathbb{Q}[\alpha]]=2\) e \([\mathbb{Q}[\alpha,u]:\mathbb{Q}]=2.6=12\).