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| Relaçao de equivalencia https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=740 |
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| Autor: | ivoski [ 18 ago 2012, 18:40 ] |
| Título da Pergunta: | Relaçao de equivalencia |
considere uma relaçao R, no conjunto dos numeros inteiros dada por aRb se e somente se a - b é par a) Mostre que esta e uma relacao de equivalencia em Z. b) Mostre que os numeros 0, 2, 122 e 200 pertencem a uma mesma classe de equivalencia e que -3, -1, 1 e 123 pertencem a uma mesma classe de equivalencia diferente da primeira. Quantas classes de equivalencia existem para esta relacao? c) Determine o conjunto quociente Z/R desta relacao de equivalencia. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 19 ago 2012, 17:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Relaçao de equivalencia |
a) A relação R é uma relação de equivalência por definição se for reflexiva, simétrica e transitiva. - R é reflexiva (i.e. \(aRa \forall a\in\mathbb{Z}\)): para qualquer inteiro\(a\), \(a-a=0\) que é um número par. - R é simétrica (i.e. \(aRb \Rightarrow bRa\)): \(aRb\) equivale a dizer que \(a-b\) é par o que implica que \(b-a\) também é par ou seja \(bRa\). - R é transitiva (i.e. \(aRb , bRc \Rightarrow aRc\)): \(aRb, bRc \Leftrightarrow a-b\) e \(b-c\) são pares o que implica que \(a-c=(a-b)+(b-c)\) tmabém é par (ou seja \(aRc\)). b) Todos os números pares pertencem à mesma classe de equivalência pois a diferença entre quaisquer dois pares é um par. Da mesma forma todos os números ímpares também pertencem a uma só classe de equivalência. Estas duas classes são distintas pois a diferença entre um par e um ímpar ou entre um ímpar e um par não é um número par. E como todo o número inteiro é par ou ímpar só existem estas duas classes. c) O conjunto quociente Z/R={[0],[1]} é formado por dois elementos: a classe dos pares (que são os números equivalentes ao 0) e a classe dos ímpares (que são os números equivalentes ao 1). |
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