\(-x< x^{2}< 2x+1\Leftrightarrow \, x^{2}> -x\, \wedge\, x^{2}< 2x+1\Leftrightarrow \, x^{2}+x> 0\, \wedge \, x^{2}-2x-1< 0\)
Em cálculos auxiliares determinamos os zeros de cada equação: \(x^{2}+x=0\Leftrightarrow \, x=0\, \vee \, x=-1\). Trata-se de uma função quadrática com a concavidade virada para cima. Como temos a inequação x²+x> 0 devemos escolher os intervalos para os quais a função é positiva.
Anexo:
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Fazemos o mesmo para a outra equação: \(x^{2}-2x-1\Leftrightarrow \, x=1-\sqrt{2}\, \vee \, x=1+\sqrt{2}\). Trata-se também de uma função quadrática com concavidade virada para cima. Desta vez temos a inequação x²-2x-1< 0 logo devemos escolher o intervalo onde a função é negativa.
Anexo:
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Anotando o que acabámos de concluir, ficamos com \(\left ( \, ]-\infty ,-1[\, \cup \, ]0,+\infty [ \right\, )\, \wedge \, 1-\sqrt{2}< x< 1+\sqrt{2}\). Atendendo que temos em mãos uma interseção devemos fazer um esquema para chegar ao resultado final.
Anexo:
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Chegámos portanto à solução: \(]0,1+\sqrt{2}[\Leftrightarrow \, 0< x< 1+\sqrt{2}\)
Quando o x se encontra num intervalo bem definido utilizamos "e". Quando o x se encontra em dois intervalos distintos utilizamos "ou". Como pode ver pelo terceiro esquema x<-1 não respeita a interseção, logo não é solução.
